Μετάβαση στο περιεχόμενο
μετάφραση
μενού
1] Το απτικό υλικό και η σημασία του στη διδακτική

Οι νέες τεχνολογίες δίνουν τη δυνατότητα να συμπεριφερθεί η σχολική τάξη ως εργαστήριο. Η ενεργή συμμετοχή των μαθητών με προσωπικές κατασκευές μέσω των εργαλείων του λογισμικού, που οδηγούν σε εικασίες και ανταλλαγή απόψεων μεταξύ των μελών της τάξης, αναπτύσσει δεξιότητες που οι μαθητές προηγούμενων ετών δεν είχαν τη δυνατότητα να αναπτύξουν. Αυτό όμως ενέχει κινδύνους οι οποίοι έχουν να κάνουν με την ανάπτυξη δεξιοτήτων  που παλαιότερα αναπτύσσονταν και τώρα ατονούν. Γι' αυτό πρέπει ο διδάσκων, όταν του δίνεται η δυνατότητα να εμπλουτίζει το μάθημά του με ποικίλο υλικό και κυρίως απτικό, που παραπέμπει σε κατασκευαστικές συνήθειες και δεξιότητες παρελθόντων ετών.

Ένα παράδειγμα αντιπροσωπευτικό των παραπάνω που υλοποιήθηκε στην τάξη (Β' Γυμνασίου) αναφέρεται στην απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος με ένα διαφορετικό από το συνηθισμένο τρόπο.
Όπως φαίνεται στις παραπάνω εικόνες υπάρχουν δύο ίδια κομμάτια χαρτονιού όπου δηλώνονται τα μήκη των εσωτερικών ακμών με β, γ, α (Τα α, β, γ είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα γ).
Στο ένα κομμάτι δηλώνονται και από τις δύο μεριές του τα μήκη των εσωτερικών ακμών. Αυτό είναι και το κομμάτι που θα περιστραφεί κατά 180 μοίρες.
Με δύο λαστιχάκια ενώνουμε τα δύο χαρτόνια όπως φαίνεται στο σχήμα.
Το εμβαδόν του εξάπλευρου στην πρώτη και δεύτερη φωτογραφία είναι το ίδιο, οπότε από την σύγκρισή τους προκύπτει η σχέση του Πυθαγορείου θεωρήματος.


Διδακτική προσέγγιση


Ο διδάσκων θα μπορούσε να δώσει ως εργασία για το σπίτι την κατασκευή και να ζητήσει εκτίμηση για το εμβαδόν του κενού μεταξύ των δύο κομματιών από χαρτόνι και την εξαγωγή συμπερασμάτων. Οι μαθητές θα έχουν το πλαίσιο εφαρμογής των μαθηματικών που τους ζητείται να κατανοήσουν, και μάλιστα, κατασκευασμένο από τους ίδιους. Εργαζόμενοι πάνω σ' αυτό καλούνται μέσω της παρατήρησης, του πειραματισμού, των εικασιών και του ελέγχου αυτών να προχωρήσουν στην κατανόηση των εννοιών.
Το σύνολο των δεξιοτήτων που πρέπει να αναπτύξουν οι μαθητές περιέχει και αμιγώς κατασκευαστικές, αλλά και καθαρά πνευματικές δεξιότητες. Οι μαθητές παίρνοντας από το διδάσκοντα τις δύο παραπάνω φωτογραφίες καλούνται να κατασκευάσουν τα δύο χαρτόνια. Η πρώτη δυσκολία γι' αυτούς θα είναι στην επιλογή της φωτογραφίας που θα τους οδηγήσει στην κατασκευή (παρατηρώντας την πρώτη φωτογραφία αναμένεται να διαπιστώσουν ότι τα χαρτόνια είναι ακριβώς ίδια). Ένα τετράγωνο χαρτόνι (αν και δεν είναι απαραίτητο) και η δίπλωση αυτού στη μέση (άξονας συμμετρίας η μεσοκάθετη μιας πλευράς του) θα διευκόλυναν την κατασκευή. Έπειτα, τα μήκη των ακμών θα αποτελούσαν το επόμενο εμπόδιο (αναμενόμενη θα ήταν η κατασκευή από μέρους τους ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές α, β και υποτείνουσα γ). Κατόπιν, η σχεδίαση με κανόνα και διαβήτη των τμημάτων μήκους β, γ, α έτσι ώστε η γωνία που ορίζεται από την ακμή της δίπλωσης και της πλευράς β να είναι 45 μοίρες (το ένα άκρο της πλευράς β να βρίσκεται πάνω στην ακμή της δίπλωσης) και η γωνία των πλευρών β, γ και γ, α να είναι 45+90=135 μοίρες (τα μήκη των α, β, γ κατασκευάζονται με τη βοήθεια διαβήτη). Μετά, με ένα ψαλίδι κόβονται ταυτόχρονα τα δύο χαρτόνια, αφού είναι διπλωμένα και δημιουργούνται οι ακμές α, β, γ. Τέλος, κόβουμε κατά μήκος της δίπλωσης και δημιουργούμε τα δύο ίδια χαρτόνια, ένα εκ των οποίων συμβολίζουμε τις εσωτερικές ακμές του και από την άλλη του μεριά. Με τη βοήθεια των φωτογραφιών στερεώνουμε και τα λαστιχάκια χρησιμοποιώντας συραπτικό. Ο διδάσκων θα μπορούσε να ζητήσει την κατασκευή των χαρτονιών και με βάση την δεύτερη φωτογραφία. Από τα παραπάνω γίνεται φανερή η αξία της κατασκευής και τα μαθηματικά που κρύβονται από πίσω της. Για παράδειγμα, γιατί οι παραπάνω γωνίες είναι 45 και 135 μοίρες και το τελικό άκρο της πλευράς α πέφτει πάνω στην ακμή της δίπλωσης; Όσον αφορά την αποδεικτική διαδικασία οι μαθητές περιστρέφοντας το ένα χαρτόνι θα προσπαθήσουν να εκφράσουν το εμβαδόν του κενού, που δημιουργείται σχηματίζοντας το αρχικό τετράγωνο (ενώνοντας τα χαρτόνια) ως ένωση εμβαδών (τα λαστιχάκια κόβουν το εμβαδόν του κενού μέρους και ορίζουν νέα εμβαδά). Σε αυτό το σημείο οι μαθητές κάνουν εικασίες και συζητούν πάνω σ' αυτές. Ο διδάσκων, αν διαπιστώσει οτι οι μαθητές χρειάζονται βοήθεια, διακριτικά μπορεί να θέσει τις κατάλληλες "σκαλωσιές" πάνω στις οποίες αυτοί θα πατήσουν για να κάνουν, έπειτα, τα βήματα εκείνα που θα τους οδηγήσουν στην κατανόηση των νέων εννοιών.

Επιστροφή στην κορυφή


2] Διδακτική προσέγγιση ενός γεωμετρικού προβλήματος
3] Γεωμετρία fractal

Κατασκευή μιας fractal κάρτας


Στην δραστηριότητα που ακολουθεί θα ερευνήσουμε τα fractals μ' ένα τρόπο απλό και κατάλληλο για μαθητές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Θα επικεντρώσουμε το ενδιαφέρον μας σε μια κατασκευή μιας κάρτας με ένα συγκεκριμένο αλγόριθμο (Simmt 1995).
Η κατασκευή αυτή της fractal κάρτας είναι βέβαιο ότι θα προκαλέσει το ενδιαφέρον και την προσοχή των μαθητών μας που μπορεί να ανήκουν στις τάξεις από Α' Γυμνασίου έως Γ' Λυκείου. Οι διαφορές βρίσκονται στο τι ζητάμε κάθε φορά να προσέξουν και να προσεγγίσουν οι μαθητές, καθώς και τι μαθηματικό υπόβαθρο πρέπει να έχουν. Θα συναντήσουν έννοιες γνωστές, όπως μέτρηση, ακολουθίες, πρόοδοι, όρια κ.ά.καθώς και έννοιες άγνωστες που για πρώτη φορά θα έρθουν σε επαφή μαζί τους και πρέπει εμείς να τους βοηθήσουμε να τις προσεγγίσουν καλύτερα, όπως αυτοομοιότητα, αναλλοίωτο κλίμακας, κλασματική (fractal) διάσταση κ.ά.
Με την κάρτα αυτή θα πετύχουμε μια διαφορετική κατασκευαστική προσέγγιση της fractal γεωμετρίας. Οι μαθητές μας θα εργάζονται ομαδοσυνεργατικά προσπαθώντας να  βρουν μόνοι τους τις απαντήσεις στα ερωτήματα που οι ίδιοι ή οι συμμαθητές τους θέτουν.
Η κατασκευή που θα παρουσιάσουμε θα αποτελείται από ορθογώνια παραλληλεπίπεδα που θα εμφανίζονται ένα με το πρώτο βήμα (δύο πρώτες τομές) και άλλα δύο μικρότερα (από τις δεύτερες τομές δεξιά και αριστερά του πρώτου) σαν να πρόκειται για μια γέννηση από το πρώτο βήμα με ανοιχτή την πάνω και κάτω έδρα.


Κατασκευή κάρτας











            

Η κατασκευή μαθηματικά συνεχίζεται επ' άπειρο, αλλά στην πραγματικότητα όσο μας επιτρέπει η ικανότητά μας να κόβουμε το χαρτί. Όσο πιο πολλές τομές κάνουν οι μαθητές, τόσο το αποτέλεσμα θα είναι πιο εντυπωσιακό. Θα βρεθούν σε μια ευχάριστη έκπληξη, όταν δουν τα τόσο καλά τοποθετημένα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα και την εμφάνιση της αυτοομοιότητας.
Τώρα οι μαθητές μπορούν να διερευνήσουν και να ανακαλύψουν τα μαθηματικά που αναδύονται μελετώντας το αντικείμενο που δημιούργησαν. Για παράδειγμα:
α) Βρείτε τον αριθμό των παραλληλεπιπέδων στο ν στάδιο.
β) Βρείτε τον αριθμό των τομών στο ν στάδιο.
γ) Βρείτε την ολική επιφάνεια των παραλληλεπιπέδων θεωρώντας ως γνωστή την επιφάνεια του πρώτου παραλληλεπιπέδου π.χ. 2 μονάδες επιφάνειας.
Η κάρτα μπορεί να θεωρηθεί ως αναπαράσταση συγκλίνουσας ακολουθίας, γιατί η ολική επιφάνεια είναι φανερά μικρότερη  από την επιφάνεια του χαρτιού.
Όταν η κάρτα είναι ανοιγμένη στο επίπεδο μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα των μηκών των τομών. Ενώ το ολικό εμβαδόν της επιφάνειας είναι πεπερασμένο, το συνολικό μήκος απ' όλες τις τομές είναι μη πεπερασμένo.



Επιστροφή στην κορυφή

4] Ενεργητική μάθηση

Λίγα λόγια…
…για την ενεργητική μάθηση


Ο μεγάλος Ούγγρος μαθηματικός και παιδαγωγός  George Polya λέει ότι πρώτος κανόνας της αληθινής μάθησης είναι: "η ενεργητική μάθηση". Το να μαθαίνει κάποιος παθητικά και δεκτικά απλώς διαβάζοντας βιβλία ή ακούγοντας παραδόσεις ή κοιτάζοντας κινούμενες εικόνες χωρίς να προσθέτει σε όλα αυτά την ενέργεια του δικού του μυαλού είναι χάσιμο χρόνου αφού τελικά αυτά που θα του μείνουν θα είναι πάρα πολύ λίγα σε σχέση με το χρόνο που αφιέρωσε.
Δεν μπορεί βέβαια να παραγνωρίσει κανείς το παραφορτωμένο ημερήσιο σχολικό πρόγραμμα του σημερινού μαθητή, ούτε και το τρέξιμο που κάνει για να τα προλάβει όλα. Δεν υπάρχει πάντα ο απαιτούμενος χρόνος για να εργαστεί με άνεση και ξενοιασιά, που χρειάζονται, ώστε να προσεγγίσει ένα πρόβλημα. Η σημερινή πραγματικότητα της σχολικής ζωής δεν αφήνει περιθώρια για τέτοιες πολυτέλειες. Υπάρχει βέβαια και η περίπτωση να μη μπορεί να λύσει κάποιος ένα πρόβλημα παρόλο το χρόνο που έχει αφιερώσει. Τότε, φυσικά, το να επιμένει δεν είναι η σωστή τακτική γιατί μπορεί απλούστατα να μην έχει τις κατάλληλες γνώσεις, οπότε η προσπάθεια είναι σίγουρα χαμένος κόπος και χρόνος. Σ' αυτή την περίπτωση πρέπει να διαβάσει ένα μέρος της λύσης του προβλήματος από το βιβλίο των λύσεων και να προσπαθήσει για την ολοκλήρωσή της ή να ζητήσει τη γνώμη ενός συμμαθητή του που αντιμετώπισε το ίδιο πρόβλημα ή τέλος να συμβουλευτεί τον διδάσκοντα στο σχολείο του και όχι να απογοητευτεί, να εκνευριστεί, να κάνει σκηνές μέσα στο σπίτι του και τελικά να την πληρώσουν οι γονείς του αλλά και αυτός ο ίδιος μιας και θα έχει χάσει πολύτιμο χρόνο. Αν όμως, πραγματικά, θέλει να ωφεληθεί από το συγκεκριμένο πρόβλημα, ώστε τελικά κάτι να κερδίσει απ' αυτό, πρέπει μετά τη λύση να κάνει την αυτοκριτική του πάνω στο πρόβλημα. Δηλαδή να εντοπίσει το σημείο στο οποίο είχε κολλήσει, να συνειδητοποιήσει με ποιον τρόπο τελικά ξεπεράστηκε η δυσκολία, ποιο τέχνασμα, ίσως άγνωστο μέχρι εκείνη την ώρα σ' αυτόν, εφαρμόστηκε και τελικά να ταξινομήσει στο μυαλό του τα θετικά στοιχεία του προβλήματος έτσι ώστε να μπορέσει να τα ξαναφέρει στην επιφάνεια όταν ξαναχρειαστεί να λύσει κάποιο παρόμοιο πρόβλημα. Ο Descartes μας λέει ότι: "Η μέθοδος συνίσταται εξολοκλήρου σχεδόν στην κατάλληλη διευθέτηση και ταξινόμηση του υλικού που έχουμε κατά καιρούς συγκεντρώσει". Η αξία της κριτικής και της ταξινόμησης μετά από κάθε πρόβλημα είναι τεράστια στη μαθηματική παιδεία. Μπορούμε να πούμε ότι στην ουσία μαθαίνουμε μαθηματικά λύνοντας προβλήματα, ταξινομώντας και κριτικάροντας τις γνώσεις, τις μεθόδους και τις τεχνικές που εμφανίστηκαν κατά τη διάρκεια της λύσης.
Δύο άλλοι αποφασιστικοί παράγοντες για τη λύση προβλημάτων είναι η παρατήρηση και το μάντεμα της λύσης χωρίς, φυσικά, απόδειξη. Παρατηρούμε πολύ προσεκτικά τα δεδομένα και τα ζητούμενα και προσπαθούμε να εμφανίσουμε ή να κατασκευάσουμε ή να συνθέσουμε τις ποσότητες που βρίσκονται σ' αυτά. Επίσης πολλές φορές ψάχνουμε να βρούμε ομοιότητες με άλλα προβλήματα που οι υποθέσεις τους ή τα συμπεράσματά τους μοιάζουν με το δικό μας (μέθοδος της αναλογίας). Η λύση αυτών των συγγενών προβλημάτων μας βοηθάει στο συγκεκριμένο δικό μας πρόβλημα. Το μάντεμα (εικασία) είναι το μεγάλο βήμα για την εφαρμογή της έρευνας στη λύση ενός προβλήματος. Ακόμη και σήμερα η διατύπωση εικασιών θεωρείται ταμπού και αποθαρρύνονται οι μαθητές να κάνουν κάτι τέτοιο, γιατί τάχα συνηθίζουν στον επιπόλαιο και μη τεκμηριωμένο τρόπος σκέψης αποκτώντας, έτσι, κακές συνήθειες που δεν τους βοηθούν στη σωστή λύση προβλημάτων. Αυτό είναι όμως πέρα για πέρα λανθασμένη αντίληψη και οφείλεται στην άγνοια της επιστημονικής μεθόδου που κατά κύριο λόγο είναι η εικασία και μετά η υποβολή αυτής σε έλεγχο. Είναι αλήθεια πώς όταν ακούμε ή διαβάζουμε στα βιβλία ονόματα όπως των Euler, Leibnitz, Newton, Cauchy κ.ά. μας καταλαμβάνει ένα δέος για τη σοφία αυτών των ανθρώπων που ανακάλυψαν πολλές από τις προτάσεις που διαβάζουμε. Πολλοί μάλιστα τους έχουν μυθοποιήσει και νομίζουν ότι ήταν, πραγματικά, φωτισμένοι από μια μυστική δύναμη. Δεν συμβαίνει όμως κάτι τέτοιο. Όταν διαβάζουμε ένα θεώρημα ή μια πρόταση που έχει ανακαλύψει κάποιος, επειδή είναι διατυπωμένη φορμαλιστικά στη μαθηματική γλώσσα και με την τελευταία λέξη της τεχνικής εκείνης της στιγμής είναι δύσκολο ή μάλλον αδύνατο να φανεί μέσα από εκεί η πορεία της σκέψης του ερευνητή και η φυσική δικαιολόγηση του γιατί σκέφτηκε έτσι ή αλλιώς με αποτέλεσμα ό,τι μας προξενεί εντύπωση και αδυνατούμε να συλλάβουμε τα αίτια που το προκαλούν να το θεοποιούμε κιόλας. Αναμφισβήτητα οι άνθρωποι αυτοί είχαν ικανότητες αλλά ικανότητες ανθρώπινες. Ο Euler ήταν ένας από τους λίγους που έγραψε τις εργασίες του ακολουθώντας μια ιστορική και φυσική περιγραφή των διαδοχικών βημάτων της λύσης. Από τα χειρόγραφά του που για το λόγο αυτό έχουν ανεκτίμητη αξία μπορούμε να δούμε ότι ήταν πολύ ανθρώπινος, ότι έκανε λάθη, αποτύγχανε, ξανάρχιζε πάλι, έκανε συνεχείς πειραματισμούς, διατύπωνε αλλεπάλληλες εικασίες και μετά από πολύ κόπο και επιμονή έφθανε στο αποτέλεσμα που είναι στα βιβλία παρουσιασμένο με μια κομψή και γλαφυρή απόδειξη.
Πρέπει να καταλάβουμε ότι η επινόηση και η ευφυΐα δεν δίνεται με τη μέθοδο της επιφοίτησης, ούτε είναι δώρο που απονέμεται "θεία χάριτι". Είναι προϊόν της αγάπης για τα μαθηματικά και μιας συνεχούς μεθοδικής εργασίας. Η ευφυία είναι υπομονή λέει ο Buffon. Η ευφυΐα είναι 1% έμπνευση και 99% ιδρώτας λέει ο Edison. Και οι δύο θέλουν να στείλουν το ίδιο μήνυμα και οι δύο θέλουν να απομυθοποιήσουν και να κάνουν πιο βατό και φυσικό το μαθηματικό χώρο, πιο ρεαλιστικό, πιο ανθρώπινο θα λέγαμε. Ας μην απογοητεύονται λοιπόν και ας μη καταλαμβάνονται από άγχος όσοι δεν προλαβαίνουν να λύσουν τις χιλιάδες των  προβλημάτων που είναι στοιβαγμένα εδώ και εκεί στα βιβλία των μαθηματικών και ας μη  πέφτουν στην παγίδα να διαβάζουν τελικά αυτά τα προβλήματα χωρίς να συμμετέχουν οι ίδιοι στη λύση τους, όπως θα διάβαζαν, ίσως, κάποιο άλλο μάθημα. Ο καλύτερος τρόπος να μαθαίνεις κάτι είναι να το ανακαλύπτεις μόνος σου. Το μυστικό λοιπόν βρίσκεται στην ποιότητα και όχι στην ποσότητα.

Επιστροφή στην κορυφή

5] Γενίκευση πυθαγόρειου θεωρήματος

Διδακτική προσέγγιση


Θέτοντας σε κίνηση το applet οι μαθητές παρακολουθούν τις μετακινήσεις των εμβαδών και προσπαθούν να εικάσουν για σχέσεις μεταξύ των εμβαδών που μετακινούνται. Με την αλλαγή της γωνίας του τριγώνου μέσω του αντίστοιχου δρομέα ο διδάσκων ζητά τις παρατηρήσεις και τα σχόλια των μαθητών του όσον αφορά τη διαφοροποίηση της γνωστής σχέσης του πυθαγορείου θεωρήματος και πώς αυτή μπορεί να εξηγηθεί μέσα από τα μετακινούμενα εμβαδά. Οι μαθητές συνεργαζόμενοι κατά ομάδες ανταλλάσσουν ιδέες στην ομάδα τους, μεταξύ των ομάδων και με το διδάσκοντα, ο οποίος θέτει με διάκριση και εφόσον παραστεί ανάγκη τις κατάλληλες "σκαλωσιές", για να προχωρήσει η μαθησιακή διαδικασία.
Ο διδάσκων στο τέλος της διδασκαλίας  επαναλαμβάνει την κίνηση της εφαρμογής αρκετές φορές, ώστε να εμπεδώσουν οπτικά και να συνδέσουν νοητικά οι μαθητές του τη γεωμετρική αναπαράσταση και την κίνηση των εμβαδών στο σχήμα με την αλγεβρική σχέση που ισχύει κάθε φορά ανάλογα με το μέτρο της γωνίας.
Ο διδάσκων στο τέλος της διδασκαλίας  επαναλαμβάνει την κίνηση της εφαρμογής αρκετές φορές, ώστε να εμπεδώσουν οπτικά και να συνδέσουν νοητικά οι μαθητές του τη γεωμετρική αναπαράσταση και την κίνηση των εμβαδών στο σχήμα με την αλγεβρική σχέση που ισχύει κάθε φορά ανάλογα με το μέτρο της γωνίας.

Επιστροφή στην κορυφή

6] Problem posing (Διατύπωση προβλήματος)
Problem - posing και applets


Με τη βοήθεια των applets μπορούμε να αναπτύξουμε δεξιότητες problem - posing.
Θέτοντας σε διαδικασία κίνησης ένα applet, μπορούμε περνώντας μέσα από τις διαδοχικές αλλαγές στις τιμές των μεταβλητών των δρομέων να αντιληφθούμε καλύτερα τη σημασία ερωτήσεων του τύπου: "και αν δεν ήταν έτσι, αλλά ήταν αλλιώς ένα δεδομένο ή μια συνθήκη, τότε πώς θα μπορούσε να λυθεί το πρόβλημα;". Επίσης, εύκολα μπορούμε να αντιληφθούμε την ισχύ ή όχι του αντιστρόφου μιας πρότασης κ.λπ.
Κατ' αυτόν τον τρόπο μπορούμε να φτιάξουμε προβλήματα που εκ πρώτης όψεως θα φαίνονται διαφορετικά στα μάτια των μαθητών μας, οι οποίοι παρόλα αυτά μετά τη διαπραγμάτευσή τους στην τάξη θα αντιλαμβάνονται ότι κατάγονται από την ίδια "ρίζα". Σιγά - σιγά αυτό θα παρακινήσει και τους ίδιους τους μαθητές να "παίζουν" με την αλλαγή των δεδομένων, ζητούμενων ή την αντιστροφή τους καθιστώντας τους δημιουργούς νέων προβλημάτων ή επεκτάσεων των υπαρχόντων. Με λίγα λόγια οι μαθητές γίνονται ερευνητές, δημιουργοί και λύτες νέων προβλημάτων, άρα προσομοιώνουν τις διαδικασίες εργασίας ενός ερευνητή - μαθηματικού.

Πρόβλημα 1


Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΑΒ. Γράφουμε ημικύκλιο (Η,Α,Ζ) κέντρου Β και ακτίνας ΒΑ, καθώς και τα ημικύκλια διαμέτρων ΗΒ και ΒΖ στο εσωτερικό του ημικυκλίου (Η,Α,Ζ). Να δειχτεί ότι το εμβαδόν του έγχρωμου μικτόγραμμου χωρίου είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου διαμέτρου ΑΒ και να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του μπλε κύκλου που εφάπτεται στα τρία ημικύκλια.

Πρόβλημα 2


Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΑΒ και σημείο Ε της ΑΒ. Γράφουμε ημικύκλιο (Η,Α,Ζ) κέντρου Ε και ακτίνας ΕΑ και ημικύκλιο (Γ,Β,Δ) κέντρου Ε και ακτίνας ΕΒ. Τέλος, γράφοντας τα ημικύκλια διαμέτρων ΗΓ και ΔΖ στο εσωτερικό του ημικυκλίου (Η,Α,Ζ). Να δειχτεί ότι το εμβαδόν του έγχρωμου μικτόγραμμου χωρίου είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου διαμέτρου ΑΒ και να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του μπλε κύκλου που εφάπτεται στα τρία ημικύκλια διαμέτρων ΗΖ, ΗΓ και ΔΖ.


Πρόβλημα 3


Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΑΒ και σημείο Ε της ΑΒ. Γράφουμε ημικύκλιο (Γ,Β,Δ) κέντρου Ε και ακτίνας ΕΒ και ημικύκλιο (Η,Α,Ζ) κέντρου Ε και ακτίνας ΕΑ. Έπειτα, γράφουμε τα ημικύκλια διαμέτρων ΗΓ και ΔΖ στο εσωτερικό του ημικυκλίου (Γ,Β,Δ). Να δειχτεί ότι το εμβαδόν του έγχρωμου μικτόγραμμου χωρίου είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου διαμέτρου ΑΒ. Τέλος, να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του μπλε κύκλου που εφάπτεται στα τρία ημικύκλια διαμέτρων ΗΖ, ΗΓ και ΔΖ.


Πρόβλημα 4


Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΑΒ και σημείο Ε της ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΕ=ΕΒ/3. Γράφουμε ημικύκλιο (Γ,Β,Δ) κέντρου Ε και ακτίνας ΕΒ και ημικύκλιο (Η,Α,Ζ) κέντρου Ε και ακτίνας ΕΑ. Έπειτα, γράφουμε τα ημικύκλια διαμέτρων ΗΓ και ΔΖ στο εσωτερικό του ημικυκλίου (Γ,Β,Δ). Να δειχτεί ότι το εμβαδόν του έγχρωμου μικτόγραμμου χωρίου είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου διαμέτρου ΑΒ. Κατόπιν, δείξτε ότι τα εμβαδά των καμπυλόγραμμων χωρίων ΜΓΒΜ και ΜΗΑΜ είναι ίσα όπως και τα εμβαδά των ΚΔΒΚ και ΚΖΑΚ. Τέλος, να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του μπλε κύκλου που εφάπτεται στα τρία ημικύκλια διαμέτρων ΗΖ, ΗΓ και ΔΖ και να δειχτεί ότι ο μπλε κύκλος εφάπτεται και στην ΓΔ.

Επέκταση


Θα μπορούσε να ζητηθεί το κέντρο και η ακτίνα ενός δεύτερου κύκλου που να εφάπτεται στον μπλε και τα δύο ημικύκλια.
7] Ρεαλιστικά προβλήματα

Φύλαξη προστατευόμενου χώρου

  • Προβολέας για έλεγχο ενός προστετευόμενου χώρου κατά τη διάρκεια της νύχτας.
  • Ο προστατευόμενος χώρος είναι σχήματος τετραγώνου και οι διαστάσεις του είναι σε δεκάμετρα.
  • Πατήστε κάτω αριστερά το σύμβολο της εκκίνησης της προσομοίωσης, πάνω δεξιά
το σύμβολο της επανάληψης για έναρξη της προσομοίωσης από την αρχή και Ctrl + F
για σβήσιμο των ιχνών του σημείου Μ στη γραφική παράσταση.

Ερωτήματα

ι) Σε ποια μέρη η κάλυψη του χώρου από τον προβολέα είναι μικρότερη και σε ποιά μεγαλύτερη;
ιι) Υπάρχει γωνία εύρους του προβολέα κατά την οποία η καλύψη του χώρου θα είναι ανά πάσα στιγμή η ίδια;


Επεκτάσεις

Αν ο χώρος ήταν σχήματος ορθογωνίου, θα υπήρχε κατάλληλη γωνία εύρους του προβολέα, ώστε η κάλυψη
του χώρου να είναι πάντοτε η ίδια;

Επιστροφή στην κορυφή


8] Κίνηση γεωμετρικών αντικειμένων

Πρόβλημα

Σε τεράγωνο δίνονται τα μέσα των πλευρών του. Με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού ενώνουμε κάθε κορυφή του με το μέσον της επόμενης πλευράς όπως φαίνεται στο σχήμα. Με αυτόν τον τρόπο σχηματίζεται ένα εσωτερικό τετράπλευρο. Δείξτε ότι το εσωτερικό τετράπλευρο είναι τετράγωνο και ότι το εμβαδόν του ισούται με το 1/5 του εμβαδού του αρχικού τετραγώνου.  


Επεκτάσεις

Αν το αρχικό τετράπλευρο αντί για τετράγωνο ήταν παραλληλόγραμμο, τότε:
  • ποιό θα ήταν το είδος του εσωτερικού τετραπλεύρου;
  • ποια η σχέση μεταξύ των εμβαδών; Θα ίσχυε πάλι η ίδια σχέση μεταξύ των εμβαδών;
Αν το αρχικό τετράπλευρο ήταν ρόμβος ή ορθογώνιο ή κανονικό εξάγωνο, ποιά τα συμπεράσματά μας;
Για κάθε είδους αρχικό πολύγωνο δημιουργείται πάντα εσωτερικό πολύγωνο;
Αν δεν παίρναμε τα μέσα των πλευρών του αρχικού πολυγώνου, αλλά σημεία που να χωρίζουν τις πλευρές σε δύο τμήματα, ώστε ο λόγος του μικρότερου προς το μεγαλύτερο να είναι ίδιος, ποιά τα συμπεράσματά μας για το είδος του τετραπλεύρου και για τη σχέση των εμβαδών;


Συμπεράσματα

Οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί είναι αυτοί που δίνουν τη δυνατότητα κίνησης των γεωμετρικών αντικειμένων στο σχήμα και απλουστεύουν τη λύση ενός γεωμετρικού προβλήματος. Η στροφή και η μεταφορά των γεωμετρικών αντικειμένων (τριγώνων και τετραγώνων) δίνουν τη δυνατότητα γεωμετρικής αναπαράστασης της λύσης του προβλήματος και με βάση αυτή καθιστούν πιο εύκολη την αυστηρή γεωμετρική λύση.


Εργασία

Προσπαθήστε να κατασκευάσετε με το geogebra για τις επεκτάσεις που προτείνονται παραπάνω  τις αντίστοιχες γραφικές αναπαραστάσεις της λύσης.

Επιστροφή στην κορυφή

9] Αποτελεσματική διδασκαλία

Παράγοντες που επηρεάζουν και καθορίζουν την αποτελεσματικότητα μιας διδασκαλίας


α) Αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών για κάθε τάξη


Ορίζει το περιεχόμενο των μαθηματικών που θα διδαχτούν χωρισμένο σε ενότητες και είναι γνωστό ως διδακτέα ύλη, τις ώρες διδασκαλίας που θα αφιερώσουν για την κατανόηση κάθε ενότητας, όπως και τους γενικούς σκοπούς και στόχους κάθε ενότητας.


β) Το σχολικό βιβλίο

Λέγοντας σχολικό βιβλίο εννοούμε το σύνολο των επίσημων διδακτικών συγγραμμάτων μέσω των οποίων υλοποιούνται οι σκοποί και στόχοι του αναλυτικού προγράμματος σπουδών. Εκεί, παρουσιάζεται σωστά δομημένο το μαθηματικό περιεχόμενο της διδακτέας ύλης καθώς επίσης και ένα βασικό πλήθος δραστηριοτήτων που πρέπει να υλοποιηθούν από τους μαθητές.


γ) Ο διδακτικός χρόνος
Ο διδακτικός χρόνος είναι ο χρόνος που αφιερώνεται για τη διδασκαλία της διδακτέας ύλης, δηλαδή πόσες ώρες διατίθενται για τη διδασκαλία των μαθηματικών συνολικά και επιμερισμένα κατά ενότητα. Αποτελεί έναν σημαντικότατο παράγοντα της διδασκαλίας ο οποίος είναι ταυτόχρονα και ένα από τα άλυτα προβλήματα της μαθησιακής διαδικασίας μιας και πότε δεν είναι αρκετός για την επαρκή εμπέδωση πολύπλοκων αφηρημένων μαθηματικών εννοιών στην πράξη.


δ) Τα μέσα διδασκαλίας
Τα μέσα διδασκαλίας είναι βοηθητικά εποπτικά εργαλεία για την αποτελεσματικότερη προσέγγιση και απόκτηση της γνώσης. Παρέχουν τη δυνατότητα δημιουργίας πολλαπλών αναπαραστάσεων της ίδιας έννοιας με αποτέλεσμα να διεγείρουν και να διατηρούν την προσοχή των μαθητών στον προς διαπραγμάτευση στόχο κάνοντας ευκολότερη τη μάθηση. Διακρίνονται:
ι) Σε παραδοσιακά, όπως είναι οι διαφάνειες, πίνακας κιμωλίας - μαρκαδόρου, απτικές χειροποίητες κατασκευές, χάρτες, εικόνες, διαγράμματα κ.ά.
ιι) Νέων τεχνολογιών, όπως είναι τα CD, βιντεοταινίες, πολυμέσα, διαδίκτυο κ.ά.


ε) Ο μαθητής και ο δάσκαλος
Η διάθεση του μαθητή να μάθει και του δασκάλου να διδάξει είναι καθοριστικός παράγοντας για την αποτελεσματική μάθηση. Η αρνητική στάση του μαθητή ανεξάρτητα από τους παράγοντες που την έχουν δημιουργήσει μέχρι εκείνη τη στιγμή αποτελεί βασικό ανασταλτικό παράγοντα μάθησης και πολλές φορές επηρεάζει αρνητικά και το σύνολο της τάξης, λόγω εριστικής και παραβατικής συμπεριφοράς. Από την άλλη μεριά το "μεράκι" και η επιστημονική συγκρότηση του δασκάλου είναι υπεύθυνη τις περισσότερες φορές για την τήρηση θετικής ή αρνητικής στάσης των μαθητών του απέναντι στα μαθηματικά.


στ) Το περιβάλλον μάθησης
Οι συνιστώσες του περιβάλλοντος μάθησης παίζουν καθοριστικό ρόλο στη διαδικασία της μάθησης.
ι) Ο σωστός περιβάλλοντας χώρος της τάξης βοηθά ψυχολογικά τον μαθητή και μπορεί να αυξήσει κατακόρυφα την απόδοσή του. Η ψυχοσύνθεση του εφήβου αλλιώς αντιδρά όταν βρίσκεται σε μια τάξη καταγώγιο και αλλιώς όταν κάνει μάθημα σε ένα σύγχρονο κτίριο με κατάλληλες προδιαγραφές και υλικοτεχνική υποστήριξη.
ιι) Το μαθησιακό περιβάλλον της τάξης ανάλογα με τις συνθήκες που επικρατούν αυξάνει ή μειώνει το ενδιαφέρον του μαθητή για τα μαθηματικά. Οι παιδαγωγικές και οι διδακτικές πρακτικές του δασκάλου, η τήρηση ή η ρήξη του άγραφου διδακτικού συμβολαίου από τη μεριά του δασκάλου, το μεγάλο ή μικρό πλήθος μαθητών της τάξης, η ομοιογένεια ή η ανομοιογένεια των μαθητών όσον αφορά τις μαθηματικές τους ικανότητες ή τις κοινωνικές τους διαφορές κ.ά. συμβάλλουν στην επιτυχία ή την αποτυχία μιας διδασκαλίας.


ζ) Η φιλοσοφία του διδάσκοντα και του μαθητή για τα μαθηματικά
Το σύμπλεγμα "των πιστεύω" του διδάσκοντα αποτελεί τη φιλοσοφική του θέση και στάση για το μάθημα που διδάσκει. Είναι τόσο ισχυρό αυτό το σύμπλεγμα "των πιστεύω" που καθορίζει τον τρόπο προσέγγισης μιας μαθηματικής ενότητας, τις μεθόδους που θα χρησιμοποιηθούν για αυτή την προσέγγιση, το χρόνο που θα αφιερώσει για να γίνει κατανοητή η έννοια από τους μαθητές και την ένταση της προσπάθειας που θα καταβάλει για να πετύχει το στόχο του. Για παράδειγμα:
Ο διδάσκων Α πιστεύει ότι οι απόλυτες τιμές είναι πολύ βασικές για την μετέπειτα πορεία του μαθητή στα μαθηματικά. Γι' αυτό, πιστεύοντας στο φορμαλισμό προσεγγίζει την έννοια της απολύτου τιμής με βάση τον φορμαλιστικό ορισμό της έννοιας, χρησιμοποιεί πινακοποίηση για τη λύση εξισώσεων - ανισώσεων με απόλυτα, αφιερώνει δύο μήνες λόγω της σοβαρότητας της έννοιας για την κατανόησή της και την εφαρμογή της σε περίπλοκα προβλήματα και τέλος απαιτεί οι μαθητές του να λύσουν μια πλειάδα σχετικών προβλημάτων.
Ο διδάσκων Β πιστεύει ότι η απόλυτες τιμές είναι μια βοηθητική έννοια για τη λύση μαθηματικών προβλημάτων. Γι' αυτό, πιστεύει ότι οι μαθητές πρέπει να την κατανοήσουν αρχικά ως απόσταση και έπειτα να προχωρήσουν στο φορμαλιστικό της ορισμό, αφιερώνει μισό μήνα για την κατανόηση της και την εφαρμογή της σε απλά προβλήματα και τέλος απαιτεί οι μαθητές του να την εφαρμόσουν ως απόσταση σε διάφορα ρεαλιστικά πλαίσια.
Το σύμπλεγμα "των πιστεύω" του μαθητή είναι απόρροια της φιλοσοφικής θέσης και στάσης του διδάσκοντα. Είναι τόσο ισχυρό αυτό το σύμπλεγμα "των πιστεύω" όσο ισχυρό είναι και το σύμπλεγμα των "πιστεύω" του διδάσκοντα. Καθορίζει τον τρόπο προσέγγισης, τις μεθόδους που θα χρησιμοποιηθούν για αυτή την προσέγγιση, το χρόνο που θα αφιερώσει και την ένταση της προσπάθειας που θα καταβάλει για να πετύχει το στόχο του. Για παράδειγμα, επειδή πιστεύει ότι τα προβλήματα φυσικής έχουν να κάνουν με τη φυσική και όχι με τα μαθηματικά, αν του δοθεί ένα πρόβλημα φυσικής να το διαπραγματευθεί με τις γνώσεις που έχει αποκτήσει σε μια μαθηματική ενότητα αυτός δεν θα αφιερώσει χρόνο για μια μαθηματική προσέγγιση και θα το διαπραγματευθεί σύμφωνα με αυτά που έχει μάθει στη φυσική.


η) Οι μορφές διδασκαλίας και οι διδακτικές μέθοδοι που εφαρμόζει ο διδάσκων
Η σωστή διδασκαλία βασίζεται πάνω σε ορισμένες βασικές αρχές:
ι) Αρχή της εποπτείας: Η γνώση αποκτάται πιο εύκολα όταν ενεργοποιούνται περισσότερες αισθήσεις, άρα η χρήση εποπτικών μέσων βοηθά προς αυτή την κατεύθυνση.
ιι) Αρχή της ρεαλιστικότητας:
ιι) Αρχή της ρεαλιστικότητας: Η γνώση εμπεδώνεται πιο γρήγορα όταν ο μαθητής διαπραγματεύεται προβλήματα που έχουν σχέση με την πραγματική ζωή.
ιιι) Αρχή της επικαιρότητας:
ιιι) Αρχή της επικαιρότητας: Η γνώση γίνεται κτήμα του μαθητή όταν συνδυάζεται με την επικαιρότητα.
ιν) Αρχή της βιωματικότητας:
ιν) Αρχή της βιωματικότητας: Υπάρχουν καλύτερα μαθησιακά αποτελέσματα όταν τα προβλήματα που διαπραγματεύεται ο μαθητής είναι προβλήματα του μικρόκοσμού του.
ν) Αρχή της εξατομίκευσης και της διαφοροποίησης:
ν) Αρχή της εξατομίκευσης και της διαφοροποίησης: Η διδασκαλία έχει μεγαλύτερη επιτυχία όταν προσανατολίζεται στις ατομικές ανάγκες, τον προσωπικό τρόπο μάθησης και τους ρυθμούς μάθησης του κάθε μαθητή.
νι) Αρχή της προσωπικής κατασκευής:
νι) Αρχή της προσωπικής κατασκευής: Μαθαίνω μαθηματικά σημαίνει κάνω μαθηματικά ή αλλιώς ό,τι δεν μπορώ να δημιουργήσω δεν μπορώ να το καταλάβω.
(What I cannot create, I do not understand: Richard Feynman)
νιι) Αρχή της ελάχιστης βοήθειας:
(What I cannot create, I do not understand: Richard Feynman)
νιι) Αρχή της ελάχιστης βοήθειας: Ότι μπορεί να ανακαλύψει μόνος του ο μαθητής δεν το αποκαλύπτει ο διδάσκων.
νιιι) Αρχή της ατομικής και ομαδικής δράσης:
νιιι) Αρχή της ατομικής και ομαδικής δράσης: Η διδασκαλία έχει καλύτερα μαθησιακά αποτελέσματα όταν ο μαθητής αυτενεργεί και δρα συνειδητά ως άτομο και μέσα από ομάδα.
ιx) Αρχή της εστίασης στο μαθητή:
ιx) Αρχή της εστίασης στο μαθητή: Η διδασκαλία ενεργοποιεί τον μαθητή όταν οι δραστηριότητες που επιλέγονται προς διαπραγμάτευση εστιάζουν στις ανάγκες και τα ενδιαφέροντά του.


θ) Βασικοί ορισμοί


Μάθηση
Η μάθηση έχει να κάνει με την απόκτηση γνώσεων, ικανοτήτων, δεξιοτήτων και στάσεων που είναι τα αποτελέσματα της συμμετοχής των εκπαιδευομένων μέσα σε μια διαδικασία με απώτερο σκοπό την αλλαγή της συμπεριφοράς και της νοητικής τους ανάπτυξης.
Διδασκαλία
Η διδασκαλία είναι ένα σύνολο μεθοδικά οργανωμένων ενεργειών τις οποίες εφαρμόζει ο δάσκαλος μέσα στην δημοκρατική αλληλεπίδραση που έχει με τους μαθητές του με απώτερο σκοπό να τους ενεργοποιήσει έτσι ώστε να γίνουν θετικοί και ενεργοί δέκτες γνώσεων, ικανοτήτων, δεξιοτήτων και στάσεων που θα τους βοηθήσουν στη μετέπειτα ζωή τους.
Διδακτική των μαθηματικών
Η διδακτική των μαθηματικών είναι ένας νέος κλάδος ο οποίος συνδυάζει γνώσεις από άλλες επιστήμες που άπτονται της διαδικασίας μάθησης του μαθηματικού αντικειμένου. Κυρίως ασχολείται με τον τρόπο διδασκαλίας που έχει να κάνει με το σχεδιασμό του μαθήματος, την εφαρμογή του μέσα στην τάξη καθώς και την αξιολόγηση της όλης διδακτικής πρακτικής.
10] Ιστόγραμμα συχνοτήτων

Ιστόγραμμα συχνοτήτων - κλάσεις ίσου πλάτους


Πληροφορίες χρήσης


Πατήστε κάτω αριστερά το κουμπί της κίνησης. Παρατηρήστε την αυτόματη μεταβολή του αριθμού των κλάσεων και την ταυτόχρονη συμμεταβολή όλων των υπόλοιπων παραμέτρων. Ο μεταβολέας r αυξομειώνει τον αριθμό των κλάσεων, ο μεταβολέας m αυξομειώνει το ίσο πλάτος των κλάσεων, o μεταβολέας q μας δίνει το αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης. Θεωρήσαμε και δύο υποθετικές κλάσεις μία στην αρχή και μία στο τέλος με συχνότητα μηδέν η κάθε μία για τον ευκολότερο σχηματισμό του πολυγώνου συχνοτήτων. Στον πίνακα συχνοτήτων υπάρχει η στήλη που δίνει τα κέντρα των κλάσεων και η στήλη των συχνοτήτων που μας προτρέπει να θέσουμε τις συχνότητες που θέλουμε (ΘΕΣΕ ΤΙΜΕΣ). Ο πίνακας είναι πλήρως παραμετροποιημένος, αφού μας παρέχει τη δυνατότητα να θέσουμε εμείς τις συχνότητες που θέλουμε, να καθορίσουμε το αριστερό άκρο της πρώτης συχνότητας και τον αριθμό των κλάσεων με αυτόματη προσαρμογή του πλάτους των κλάσεων, οπότε δημιουργούνται αυτόματα οι υποθετικές κλάσεις με συχνότητα μηδέν και έχουμε άμεση προσαρμογή του ιστογράμματος, του πολυγώνου και του πίνακα συχνοτήτων.


Διδακτικά σενάρια
 

Ανάλογα με τις ανάγκες του ο διδάσκων μπορεί να καλύψει ένα μεγάλο μέρος της ύλης της στατιστικής αλλάζοντας τους μεταβολείς q, m, r και αφήνοντας τους μαθητές του να πειραματιστούν πάνω σε διάφορες δραστηριότητες που θα τους θέσει όπως, για παράδειγμα:
  • η εύρεση σχέσης μεταξύ του εμβαδού των ορθογωνίων του ιστογράμματος και του εμβαδού του πολυγώνου των συχνοτήτων
  • να εικάσουν για την πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων σε σχέση με την καμπύλη συχνοτήτων της κανονικής κατανομής (δίνεται η συνάρτηση t(x) με παραμέτρους την ίδια μέση τιμή και τυπική απόκλιση με την κατανομή συχνοτήτων που διαπραγματεύονται), αφού πρώτα ο διδάσκων θα τους δώσει κατάλληλες συχνότητες και θα τους προτρέψει να μειώσουν πάρα πολύ (να τείνει στο μηδέν ) το m π.χ. θέτοντας m=0.03. Σε αυτό το σημείο το applet παρέχει τη δυνατότητα στους μαθητές, με τα εργαλεία που διαθέτει στο πάνω μέρος, να μπορούν αυτοί να μετακινούν τους άξονες και να έχουν πάντα το διάγραμμα μέσα στην επιφάνεια σχεδίασης. Επίσης,τους παρέχεται η δυνατότητα  να κάνουν σμικρύνσεις και μεγενθύνσεις του διαγράμματος για να παρατηρήσουν ευκολότερα την προσέγγιση ταύτισης των δύο γραμμών και, τέλος, να θέτουν τις πολύ μικρές τιμές του m στο πλαίσιο εισαγωγής στο κάτω μέρος του applet παρά να προσπαθούν να κάνουν κάτι τέτοιο με τη χειροκίνητη μεταβολή του δρομέα.

           

Ο διδάσκων θα μπορούσε στη στήλη "ΘΕΣΕ ΤΙΜΕΣ" να θέσει τις σχετικές συχνότητες ή τις αθροιστικές συχνότητες ή τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες και να προχωρήσει σε επεκτάσεις όπως είναι, για παράδειγμα,   η ανάγκη ορισμού και η κατασκευή του πολυγώνου αθροιστικών συχνοτήτων.     

11] Επιλεγμένα θέματα Ιστορίας

Εισαγωγή



Γνωρίζουμε ότι τα μαθηματικά είναι ένα αξιωματικό σύστημα, δηλαδή ένα σύστημα με αξιώματα, ορισμούς και προτάσεις. Η προσπάθεια να αποδεσμευθούν από τα αισθητά πράγματα σύμφωνα με τον Πλάτωνα και, επομένως, από τα συγκεκριμένα σχήματα άνοιξε το δρόμο που τελικά οδήγησε σε ένα τέτοιο σύστημα. Όταν δεν μπορεί να προκύψει η αλήθεια με τρόπο εμπειρικό και με βάση την άμεση εποπτεία του σχήματος, τότε δε μένει άλλη επιλογή απ' το να αποδεικνύεται η αλήθεια με λογικούς συλλογισμούς. Έτσι,η αλήθεια των προτάσεων έπρεπε να προκύπτει από προτάσεις που ήδη είχαν αποδειχθεί, δηλαδή τελικά να είναι συνέπειες των αξιωμάτων.Επομένως κάθε νέα έννοια που προέκυπτε στην πορεία έπρεπε να οριστεί με ακρίβεια.
Οι Έλληνες είχαν πεισθεί ότι τα μαθηματικά και οι γνώσεις που αυτά έδιναν ανήκαν σ' ένα κόσμο διαφορετικό απ' τον κόσμο της εμπειρίας και από τις γνώσεις που προκύπτουν απ' αυτόν. Αυτός ήταν και ο λόγος που οικοδόμησαν πάνω σ' αυτή τους την πεποίθηση τη γεωμετρία.


Ευκλείδης ο Αλεξανδρεύς  


Το 306 π.Χ. ο Πτολεμαίος ο Α' είχε υπό τον έλεγχό του την Αίγυπτο. Έτσι, ίδρυσε στην Αλεξάνδρεια μια σχολή που την ονόμασε Μουσείο και κάλεσε για να διδάξουν σε αυτή τους γνωστότερους ανθρώπους των γραμμάτων της εποχής του. Μέσα σ' αυτούς ήταν και ο συγγραφέας της Ευκλείδειας γεωμετρίας (έργο του τα γνωστά Στοιχεία του Ευκλείδη). Για τον Ευκλείδη δεν είναι γνωστά πολλά πράγματα. Φημολογείται ότι σπούδασε κοντά σε μαθητές του Πλάτωνα και αναφέρεται ότι ο Πτολεμαίος του ζήτησε να του πει αν υπάρχει για την κατανόηση της  γεωμετρίας κάποιος γρηγορότερος και ευκολότερος δρόμος εκτός της μελέτης των Στοιχείων. Η απάντηση του Ευκλείδη ήταν αρνητική και συγκεκριμένα ανέφερε ότι δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος για τη γεωμετρία. Ένα άλλο περιστατικό από τη ζωή του αναφέρει ότι ένας μαθητής του τον ρώτησε σε τι χρειάζεται η μελέτη της γεωμετρίας (κάτι τέτοιο ρωτούν δύο χιλιάδες χρόνια περίπου μετά και οι σημερινοί μαθητές), τότε ο Ευκλείδης ζήτησε να του δώσουν τρεις δραχμές αφού αυτός ο μαθητής όπως είπε ήθελε μόνο να κερδίζει από όσα μάθαινε (κάτι τέτοιο συμβαίνει και στη σημερινή εποχή, όπου το καθετί  μεταφράζεται σε χρήμα).
Τα έργα του Ευκλείδη είναι τα αρχαιότερα μαθηματικά δοκίμια που σώζονται, παρόλο που περισσότερα από τα έργα που έχει γράψει ο συγγραφέας έχουν χαθεί με κυριότερο αυτό της μελέτης των κωνικών τομών. Είναι πολύ πιθανόν η απώλεια αυτή να μας στερεί από μια διαφορετική προσέγγιση των κωνικών τομών και της αναλυτικής γεωμετρίας γενικότερα. Τα έργα του Ευκλείδη που διασώθηκαν είναι τα Στοιχεία, τα Δεδομένα, περί Διαιρέσεων, τα Φαινόμενα και τα Οπτικά. Στα Οπτικά του Ευκλείδη αναφέρεται ότι το μάτι στέλνει ακτίνες που πηγαίνουν προς το αντικείμενο που βλέπει, μια θεώρηση εντελώς διαφορετική με την προσέγγιση του Αριστοτέλη σύμφωνα με την οποία μια ενεργεία κατευθύνεται μέσα σε ένα μέσο από το αντικείμενο προς το μάτι. Τα Φαινόμενα του Ευκλείδη είναι μια μελέτη πάνω στη σφαιρική γεωμετρία και βασίζονται σε γνώσεις οικείες για την εποχή του με μεγάλη σημασία για τους Αστρονόμους. Τα Φαινόμενα του Ευκλείδη έχουν μεγάλες ομοιότητες με τη Σφαίρα του Αυτόλυκου. Είναι πιθανό και τα Στοιχεία του Ευκλείδη να είναι συγκέντρωση γνώσεων οικείων για την εποχή του μόνο που δεν υπάρχει άλλο έργο που έχει σωθεί και με το οποίο να μπορούν να συγκριθούν. Η μελέτη περί Διαιρέσεων του Ευκλείδη είναι και αυτή ένα έργο που θα είχε χαθεί αν δεν το διέσωζαν οι Άραβες μεταφράζοντάς το πρώτα στη γλώσσα τους και έπειτα μέσω της λατινικής μετάφρασης έφτασε στις μέρες μας. Πολύ βασικές είναι οι προτάσεις που αναφέρονται στη διαίρεση των σχημάτων (π.χ. η κατασκευή ευθείας παράλληλης προς τη βάση ενός τριγώνου που να το διαιρεί σε δύο ισεμβαδικές επιφάνειες). Τα Δεδομένα του Ευκλείδη θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως ο πρόδρομος ενός βιβλίου διδακτικής των μαθηματικών που αναφέρεται στη λύση προβλήματος. Λέγεται ότι γράφτηκε για να μπορούν να το χρησιμοποιούν στο πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας ως συνοδευτικό των πρώτων έξι βιβλίων των Στοιχείων και ο ρόλος του ήταν να χρησιμεύει ως μια μέθοδος ανάλυσης των προβλημάτων της γεωμετρίας με απώτερο σκοπό την ευκολότερη εύρεση αποδείξεων. Ξεκινά με ορισμούς που αναφέρονται σε μεγέθη και γεωμετρικούς τόπους, ενώ το μεγαλύτερο μέρος του περιέχει προτάσεις που αναφέρονται στις συνέπειες των συνθηκών και των μεγεθών που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πρόβλημα.
Από τα στοιχεία που υπάρχουν συμπεραίνουμε ότι ο Ευκλείδης μπορεί να μην ανακάλυψε μετά από έρευνα καινούργιες μαθηματικές γνώσεις, αλλά ανήκε στην κατηγορία των ατόμων με μεγάλη διδακτική δεινότητα , γεννημένος με το χάρισμα του εξαίρετου δασκάλου. Έγραψε ένα βιβλίο (τα Στοιχεία) που προφανώς δεν ήταν το πρώτο στο είδος του αλλά έμελλε να είναι εκείνο που θα άλλαζε τον τρόπο επιστημονικής σκέψης των ανθρώπων από την εποχή του μέχρι και σήμερα. Τα Στοιχεία αποτελούνται από 13 βιβλία με τα πρώτα έξι να αναφέρονται στη γεωμετρία του επιπέδου, τα επόμενα τρία στη θεωρία των αριθμών, το δέκατο στους άρρητους αριθμούς και τα υπόλοιπα στη στερεομετρία. Το πρώτο βιβλίο περιέχει 23 ορισμούς. Μετά τους ορισμός αναφέρει πέντε αιτήματα και 5 αξιώματα (υπάρχουν χειρόγραφα που παρουσιάζουν και τις δέκα προτάσεις σε μια κατηγορία) . Με τα σημερινά κριτήρια υπάρχουν κενά και ελλείψεις στη διατύπωση, όμως τα στοιχεία του Ευκλείδη ήταν το πιο σωστά και αυστηρά δομημένο επιστημονικό έργο της εποχής του και όχι μόνο. Όπως είπαμε παραπάνω ο Ευκλείδης δεν έγραψε τα στοιχεία για να τονίσει τόσο την αυστηρά επιστημονική δομή τους όσο την παιδαγωγική τους επάρκεια μιας και αποτελούσαν τις στοιχειώδεις γνώσεις των μαθηματικών της εποχής του που έπρεπε να διδαχθούν στο Μουσείο της Αλεξάνδρειας. Γι' αυτό το λόγο και δεν συμπεριελάμβανε στο έργο του τις κωνικές τομές ή και  άλλες επίπεδες καμπύλες γιατί η διαπραγμάτευση τέτοιων θεμάτων θεωρούνταν ανώτερα μαθηματικά. Το δεύτερο βιβλίο των στοιχείων περιλαμβάνει 14 προτάσεις που για την εποχή τους είχαν μεγάλη σημασία στην εκπαίδευση. Σήμερα η άλγεβρα και η τριγωνομετρία που χρησιμοποιούμε αντικατέστησε τα γεωμετρικά ισοδύναμα των Ελλήνων μαθηματικών, αν και από διδακτικής πλευράς είναι ωφέλιμη η αντιστοίχηση αυτή (π.χ. η γνωστή μας επιμεριστική ιδιότητα στο γεωμετρικό της ισοδύναμο αποτελούσε βασική πρόταση του βιβλίου). Το δεύτερο βιβλίο των στοιχείων είναι μια γεωμετρική άλγεβρα με ρόλο ισοδύναμο με αυτόν της συμβολικής στις μέρες μας. Οι μελετητές των στοιχείων του Ευκλείδη υποθέτουν ότι τα δύο πρώτα βιβλία του αποτελούν στην ουσία τις μελέτες των πυθαγόρειων, ενώ τα δύο επόμενα που ασχολούνται με την γεωμετρία του κύκλου είναι υλικό από το έργο του Ιπποκράτη της Χίου. Τα βιβλία ΙΙΙ και ΙV περιέχουν την ύλη, σχεδόν, των σημερινών βιβλίων πάνω στον κύκλο. Τα βιβλία V και Χ που αναφέρονται στη γενική θεωρία των αναλογιών και στην ταξινόμηση των αρρήτων αντίστοιχα. Οι μαθηματικοί απέφευγαν μετά την ανακάλυψη των αρρήτων να χρησιμοποιούν τις αποδείξεις με αναλογίες. Έτσι, και ο Ευκλείδης ενώ θα μπορούσε να τις χρησιμοποιήσει πιο μπροστά και να αποφύγει τις δυσκολίες που ανέκυπταν στη δομή του έργου του προτίμησε να τις εισάγει όταν πλέον του ήταν απόλυτα αναγκαίες. Παρόλο που σήμερα το πέμπτο βιβλίο μπορεί να κριθεί περιττό, αφού οι προτάσεις του έχουν αντικατασταθεί από νόμους της Άλγεβρας, οι ιστορικοί μελετητές αναφέρουν ότι πρέπει να παραδεχθούμε τη σπουδαιότητά του την εποχή εκείνη πάνω σε ουσιώδη θέματα θεμελίωσης των μαθηματικών. Αναφέρεται στην επιμεριστικότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση, την προσεταιριστικότητα του πολλαπλασιασμού, τις έννοιες του μεγαλύτερου και μικρότερου από, καθώς και με τις ιδιότητες των αναλογιών. Στο επόμενο βιβλίο του VI ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί τις αναλογίες για να αποδείξει θεωρήματα ομοιότητας. Αξιοσημείωτη εδώ θεωρείται η πρόταση που είναι επέκταση του πυθαγορείου θεωρήματος, αποδίδεται από τον Πρόκλο στον Ευκλείδη και  λέει ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο αν σχεδιάσουμε ένα σχήμα με πλευρά την υποτείνουσα, τότε το εμβαδόν του σχήματος αυτού θα ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ομοίων και κατά όμοιο τρόπο σχεδιασμένων σχημάτων στις δύο κάθετες πλευρές. Τα επόμενα τρία βιβλία VII,VIII,IX των στοιχείων αναφέρονται στη θεωρία των αριθμών. Αριθμός στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ήταν ο σημερινός θετικός ακέραιος. Στο βιβλίο VII ορίζονται οι περιττοί, άρτιοι, πρώτοι, σύνθετοι, επίπεδοι, στερεοί και οι τέλειοι αριθμοί. Κάθε αριθμός από τον Ευκλείδη αντιπροσωπεύεται από ευθύγραμμο τμήμα π.χ. ο αριθμός ΑΒ. Με την ανακάλυψη των αρρήτων δεν είναι αληθής πρόταση το αντίστροφο, αφού σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα δεν αντιστοιχεί κάποιος θετικός ακέραιος αριθμός. Ο Ευκλείδης στο έργο του αντικαθιστά το " πολλαπλάσιο του" και το "παράγοντας του" με το " μετριέται από". Το βιβλίο VI ξεκινά με τον γνωστό " Ευκλείδειο αλγόριθμο" για την εύρεση του μέγιστου μέτρου (Μ.Κ.Δ) δύο αριθμών. Το βιβλίο VII περιέχει τη γνωστή μας γεωμετρική πρόοδο και κάποιες άλλες προτάσεις για ιδιότητες τετραγώνων και κύβων. Το βιβλίο IX περιέχει την πρόταση που λέει ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από οποιοδήποτε πολλαπλάσιο πρώτων αριθμών, δηλαδή ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι. Το βιβλίο Χ περιέχει 115 προτάσεις που περιέχουν γεωμετρικά ισοδύναμα των σημερινών αρρήτων αριθμών. Μέσα σε αυτές τις προτάσεις υπάρχουν και αυτές που αναφέρονται στη ρητοποίηση του παρονομαστή. Τα ευθύγραμμα τμήματα που περιγράφονται από τετραγωνικές ρίζες ή τετραγωνικές ρίζες αθροισμάτων τετραγωνικών ριζών είναι κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβήτη. Η ύλη του βιβλίου ΧΙ αναφέρεται σε προτάσεις της γνωστής μας Στερεομετρίας. Στο βιβλίο ΧΙΙ έχουμε δεκαοκτώ προτάσεις που αναφέρονται στη μέτρηση σχημάτων με αυστηρές αποδείξεις με τη μέθοδο της εξάντλησης που ο Αρχιμήδης τις αποδίδει στον Εύδοξο. Το τελευταίο βιβλίο αναφέρεται στις ιδιότητες των πέντε κανονικών στερεών. Γίνεται προσπάθεια να περικλείσουν καθένα από τα γεωμετρικά στερεά σε μια σφαίρα, δηλαδή η εύρεση του λόγου μιας ακμής του στερεού προς της ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας. Από τους μελετητές αναφέρεται η μεγάλη συμβολή του Θεαίτητου στο βιβλίο ΧΙΙΙ.
Άλλα δύο βιβλία το 14ο και 15ο που κάποιοι απέδιδαν στον Ευκλείδη δεν είναι δικά του έργα, αλλά σύμφωνα με ιστορικούς μελετητές το πρώτο αναφέρεται ως έργο του Υψικλή και το άλλο ως έργο του Ισιδώρου από τη Μίλητο, αρχιτέκτονα του ναού της Αγίας Σοφίας στην Κωνσταντινούπολη. Είναι γεγονός ότι τα " Στοιχεία" του Ευκλείδη ήταν το έργο εκείνο που επηρέασε όσο κανένα άλλο τη μαθηματική σκέψη για 2000 χρόνια. Γράφτηκε γύρω στο 300 π.Χ και αντιγράφηκε πολλές φορές με αποτέλεσμα να παρεισφρήσουν στο αρχικό κείμενο λάθη, επεξηγήσεις, παραλλαγές, σχόλια κυρίως ιστορικού περιεχομένου  και να γίνουν προσπάθειες βελτίωσης. Παρόλα αυτά ήταν εμφανή τις περισσότερες φορές τα επιπρόσθετα στοιχεία και δεν αλλοίωναν το πρωτότυπο κείμενο. Πρώτη εκτύπωση των "Στοιχείων" έγινε στη Βενετία το 1482.
Πηγές:


C. Boyer - U. Merzbach, Η ιστορία των μαθηματικών, Εκδόσεις Πνευματικού, Αθήνα 1997

S. Hollingdale, Makers of Mathematics, Dover, New York 2006

Επιστροφή στην κορυφή

12] Μεγιστοποίηση όγκου

Πρόβλημα



Δίνεται ένα στερεό όπως φαίνεται στο σχήμα που αποτελείται από δύο ορθούς κώνους ύψους H συμμετρικούς με κοινή βάση ακτίνας R. Ζητείται να βρεθεί η ακτίνα και ο όγκος μέγιστου ορθού κυλίνδρου εγγεγραμμένου στο στερεό αυτό.


Διδακτική προσέγγιση



Η κατασκευή του applet από τον εκπαιδευτικό δίνει τη δυνατότητα της διπλής αναπαράστασης, μιας οπτικής που φαίνεται η μεταβολή του όγκου του εγγεγραμμένου κυλίνδρου ακτίνας r σε πραγματικό χρόνο με σύρσιμο του σημείου Α και μιας γραφικής όπου φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης V(r) του όγκου του κυλίνδρου και σε πραγματικό χρόνο φαίνεται η μεταβολή του όγκου σε σχέση με την ακτίνα. Με την κίνηση που πραγματοποιείται μπορούν να παρατηρήσουν οι μαθητές ποιό είναι το μέγιστο σημείο της γραφικής παράστασης, πόση είναι η ακτίνα του κυλίνδρου για την οποία επιτυγχάνεται η μέγιστη τιμή του όγκου και ποιά είναι η τιμή του μέγιστου όγκου. Ο διδάσκων θα μπορούσε να δημιουργήσει και τρίτη αναπαράσταση πινακοποιώντας μέσω του προγράμματος τις τιμές των r και V, όπου θα φαίνεται για ποιό r επιτυγχάνεται ο μέγιστος όγκος, πιστεύω ότι αυτό θα ήταν καλύτερο για την απόκτηση επιπλέον δεξιοτήτων να γίνει από τους ίδιους τους μαθητές στα τετράδιά τους με βάση τη γραφική παράσταση σύροντας το σημείο Α. Επίσης, ο διδάσκων μπορεί να ζητήσει από το μεταβολέα να αλλάξουν οι τιμές των R και Η του κάθε κώνου που δημιουργεί το στερεό και να διατυπώσουν τις παρατηρήσεις τους. Τέλος, μπορεί να ζητήσει τη διαπραγμάτευση του ίδου προβλήματος, αλλά με ένα κώνο και να εικάσουν για την μορφή της γραφικής παράστασης και του αποτελέσματος. Έπειτα, ο διδάσκων με μια μικρή αλλαγή του applet θα τους βοηθήσει να ελέγξουν τις εικασίες τους.

Επιστροφή στην κορυφή

13] Όμοια τρίγωνα - Πολύγωνα

Δραστηριότητα


Κατασκευάστε τρίγωνο και έπειτα κατασκευάστε το τρίγωνο που ενώνει τα μέσα των πλευρών του αρχικού τριγώνου.Ζητούμενο είναι η εύρεση σχέσης, αν υπάρχει,  μεταξύ των βασικών στοιχείων των δύο τριγώνων.


Στόχος
Με τη χρήση ενός λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας οι μαθητές να προχωρήσουν αρχικά σε εικασίες, έπειτα σε διερεύνηση αυτών των εικασιών και τέλος να φτάσουν στην αποδεικτική επαλήθευσή τους.


Πορεία
ι) Με τα εργαλεία του λογισμικού οι μαθητές να προσπαθήσουν να κατασκευάσουν τα δύο τρίγωνα
ιι) Μετά την κατασκευή να μετρήσουν τα βασικά στοιχεία των δύο τριγώνων και να προβούν σε εικασίες, όσον αφορά τις πλευρές και τις γωνίες των δύο τριγώνων
ιιι) Με το ποντίκι να μετακινήσουν τις κορυφές του αρχικού τριγώνου και με τη βοήθεια του λογισμικού να φτιάξουν πίνακα στον οποίο να εμφανίζεται η μεταβολή των βασικών στοιχείων των δύο τριγώνων απ' όπου θα επιβεβαιώσουν ή θα απορρίψουν τις εικασίες τους.
ιν) μετά την επιβεβαίωση των εικασιών τους να προχωρήσουν στην αποδεικτική διαδικασία και συγκεκριμένα :
  • στην εύρεση της σχέσης των πλευρών των δύο τριγώνων
  • στην εύρεση της σχέσης των γωνιών των δύο τριγώνων
  • στην εύρεση του είδους του αρχικού τριγώνου,

αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα των πλευρών του αρχικού είναι:
     1) ορθογώνιο,   2) ισόπλευρο,    3) ισοσκελές
ν) αν αντί τριγώνου είχαμε τετράγωνο (ή πεντάγωνο) και σχηματίζαμε το τετράγωνο (ή το πεντάγωνο) που ενώνει τα μέσα των πλευρών του αρχικού, ζητείται από τους μαθητές να εξετάσουν αν μπορούν να επεκτείνουν τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξαν από τη δραστηριότητα που διαπραγματεύτηκαν και για τη νέα κατάσταση.


Επέκταση της δραστηριότητας

Ι) Με τα εργαλεία του προγράμματος μετρήστε την περίμετρο και το εμβαδόν των δύο τριγώνων και εικάστε, διερευνήστε και αποδείξτε σχέση που δίνει:
 α)  το λόγο των περιμέτρων τους
 β)  το λόγο των εμβαδών τους.
ΙΙ) Εξετάστε αν μπορούν να επεκταθούν τα συμπεράσματα στα οποία θα καταλήξετε και για την περίπτωση που θα είχαμε ένα πολύγωνο στη θέση του αρχικού τρίγωνο και αντίστοιχα το πολύγωνο που ενώνει τα μέσα των πλευρών του αρχικού.

14] Η γεωμετρία των καμπύλων

Η γεωμετρία των καμπύλων τον 17ο αιώνα



Η έννοια των καμπύλων είναι παλιά και θεμελιώδης στα μαθηματικά και εμφανίζει μεταβολές ανάλογα με τα διαφορά φιλοσοφικά μοντέλα των μαθηματικών που επικράτησαν κατά καιρούς. Η μαθηματική έννοια της καμπύλης είναι πολύ κοντά σ' αυτό που καταλαβαίνουμε από τη διαίσθησή μας και πολύ βασική για τις εφαρμογές της καθημερινής μας ζωής. Όπως και οι περισσότερες έννοιες της επιστήμης των μαθηματικών έτσι κι αυτή έως ότου να καθοριστεί πλήρως πέρασε μέσα από διάφορους μετασχηματισμούς. Αυτό δηλώνει τη δυνατότητα της επιστήμης των μαθηματικών να ξεπερνά τα εννοιολογικά εμπόδια που προκύπτουν. Ιστορικά ο τρόπος κατανόησης της έννοιας έχει να κάνει με το μαθηματικό φιλοσοφικό σύστημα που επικρατούσε σε κάθε εποχή και ο τρόπος χρήσης της έχει να παρουσιάσει ευρύτερες φιλοσοφικές θεωρήσεις και τρόπους προσέγγισης.
Το 300 π.χ. ο Ευκλείδης ορίζει την καμπύλη (την ονομάζει γραμμή) ως μήκος χωρίς πλάτος. Αυτός ο ορισμός εμπεριέχει κάποιες ιδιότητες της καμπύλης, αλλά δεν μπορεί να δώσει πλήρη μαθηματικό ορισμό της έννοιας. Είναι γεγονός ότι ο Ευκλείδης δεν θα μπορούσε να ορίσει γενικότερα την έννοια της καμπύλης γιατί δεν του το επέτρεπε η ανάπτυξη των μαθηματικών εκείνης της εποχής. Έτσι, περιορίστηκε στις δύο απλούστερες καμπύλες: Την ευθεία και τον κύκλο. Στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά ως εργαλεία για τη λύση προβλημάτων χρησιμοποιούνταν και άλλες καμπύλες, όπως οι σπείρες του Αρχιμήδη και οι κωνικές τομές. Οι Έλληνες μαθηματικοί συνήθως ασχολούνταν με προβλήματα που έπρεπε να κατασκευαστούν υποχρεωτικά με τη χρήση κανόνα και διαβήτη και θεωρήματα που έπρεπε να αποδειχθούν. Έτσι βρίσκονταν συνεχώς στην αναζήτηση νέων μεθόδων και λύσεων. Από οντολογικής πλευράς τα αντικείμενα της γεωμετρίας υπάρχουν και δεν αλλάζουν μορφή, άρα η κίνηση στην ελληνική γεωμετρία δεν υφίσταται. Το πρόβλημα αυτό προσπάθησε να λύσει ο Πρόκλος λέγοντας ότι οι θέσεις, οι τομές, η πρόσθεση και αφαίρεση βρίσκονται στη φαντασία μας χωρίς γέννηση και μεταβολή. Αυτή η τοποθέτηση επέδρασε καθοριστικά στην αρχαία ελληνική γεωμετρία π.χ. στα Στοιχεία του Ευκλείδη οι ορισμοί που δίνονταν μέσω ιδιότητας είχαν προτεραιότητα απέναντι στους ορισμούς που δίνονταν μέσω γένεσης π.χ. ότι ο κώνος είναι το σχήμα που προκύπτει όταν ορθογώνιο τρίγωνο περιστραφεί γύρω από μια κάθετη πλευρά του - η οποία μένει ακίνητη - και επανέλθει στη θέση απ' την οποία άρχισε να κινείται. Ορισμοί μέσω ιδιότητας είναι οι ορισμοί της ευθείας και του κύκλου. Ο Πρόκλος αναφέρει ότι η ευθεία και ο κύκλος είναι πρωταρχικές για τα σχήματα και η κίνηση με την οποία αυτές περιγράφονται μπορεί να κατανοηθεί εύκολα και ξεκάθαρα  από τη σκέψη μας, σε αντίθεση με τις περιπτώσεις που οι κινήσεις εμπεριέχουν τη χάραξη μιας άλλης γραμμής. Παρόλα αυτά στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά αν ένα πρόβλημα δεν μπορούσε να κατασκευαστεί με κύκλους και ευθείες δεκτοί ήταν και άλλοι τρόποι με την προϋπόθεση βέβαια ότι θα έδιναν τη λύση. Χαρακτηριστική είναι η ταξινόμηση των προβλημάτων του Πάππου στη Συλλογή, όπου υπήρχαν τρεις κατηγορίες: Προβλήματα που μπορούσαν  να κατασκευαστούν με ευθείες και κύκλους, προβλήματα που μπορούσαν να λυθούν με τη χρήση κωνικών τομών και προβλήματα που μπορούσαν να κατασκευαστούν με χρήση άλλων καμπύλων (σπείρες κ.λπ.). Μάλιστα ο Πάππος ανέφερε ότι αν ένα πρόβλημα μπορούσε να κατασκευαστεί με ευθείες και κύκλους (με χρήση χάρακα και  διαβήτη) είναι λάθος να κατασκευαστεί με άλλο τρόπο. Στην ελληνική γεωμετρία οι καμπύλες ορίζονται: ως τομές επιφανειών (κωνικές τομές), ως γραμμές που χαράσσονται με κινήσεις (σπείρα, τετραγωνίζουσα και καμπύλες που κατασκευάζονται με όργανα) και τέλος ως γεωμετρικοί τόποι σημείων που έχουν κοινή ιδιότητα.
Πρώτος ο Viete τον 16ο αιώνα έδειξε ότι η τριχοτόμηση της γωνίας καθώς και η εύρεση δύο μέσων ανάλογων ήταν προβλήματα επιλύσαμε και, επιπλέον, έδειξε ότι κάθε γεωμετρικό πρόβλημα κατασκευής που μετά τον αλγεβρικό μετασχηματισμό του κατέληγε σε εξίσωση τρίτου ή τέταρτου βαθμού ήταν επιλύσιμο.
Τόσο στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς όσο και στον Descartes τον 17ο αιώνα  που ασχολήθηκε σε βάθος με την έννοια της κατασκευασιμότητας υπάρχουν δύο τρόποι περιγραφής των καμπυλών: την περιγραφή μέσω ιδιότητας που έχουν όλα τα σημεία μιας καμπύλης και μόνο αυτά (στον Descartes αυτή η ιδιότητα έχει μορφή εξίσωσης) και την περιγραφή από γένεση (κατασκευή της καμπύλης - γεωμετρική ή με όργανο). Ο Descartes θέτει τα δικά του κριτήρια για το ποιες καμπύλες είναι αποδεκτές στη γεωμετρία και ποιες στη μηχανική. Αποδεκτές είναι καμπύλες που προκύπτουν από αρθρωτά όργανα που οι κινήσεις των ξεχωριστών τμημάτων τους καθορίζονται από την κίνηση μόνο ενός εξ αυτών. Μη αποδεκτές είναι καμπύλες που προκύπτουν από δύο ανεξάρτητες κινήσεις (σπείρα, τετραγωνίζουσα). Η κατάταξη του Descartes έχει ως βάση την περιγραφή της καμπύλης μέσω ιδιότητας, οπότε οι καμπύλες κατατάσσονται ως προς τον βαθμό των αντίστοιχων εξισώσεων. Όσον αφορά την κατασκευασιμότητα προχωρά ένα βήμα παραπέρα από τον Πάππο και λέει ότι:
οι καμπύλες που είναι γεωμετρικές ορίζονται από αλγεβρικές εξισώσεις με γραμμικές συντεταγμένες,
όταν μια καμπύλη ορίζεται από μια αλγεβρική εξίσωση, τότε μπορεί να χαραχθεί με έναν συνδυασμό κινήσεων που είναι γεωμετρικά αποδεκτός και
στις κατασκευές εκτός από τη χρήση ευθειών και κύκλων θα πρέπει να χρησιμοποιούνται από εκεί και πέρα η απλούστερες δυνατές καμπύλες, δηλαδή οι εξισώσεις αυτών των καμπυλών να έχουν το μικρότερο δυνατό βαθμό.
Το πρώτο μέρος της Μεθόδου του Descartes για την επίλυση προβλημάτων αναφέρεται στη μετάφραση του γεωμετρικού προβλήματος σε αλγεβρικό, δηλαδή ο μετασχηματισμός των δεδομένων του με εξισώσεις τόσες όσοι και οι άγνωστοι. Κατόπιν, κάνοντας απαλοιφή αγνώστων φτάνει σε μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο, οπότε το πρόβλημα ανάγεται στη λύση αυτής της εξίσωσης , που στη συνέχεια παραγοντοποιείται σε πολυώνυμα μικρότερου βαθμού τα οποία έχουν γνωστή γεωμετρική ερμηνεία. Τέλος, η λύση προκύπτει σαν τομή τέτοιων καμπύλων. Η σωστή πορεία εξασφαλίζεται με την γεωμετρική κατασκευή των μεγεθών και των αναλογιών που εμφανίζονται. Με την αυτονόμηση της άλγεβρας εγκαταλείφθηκε περίπου το 1750 η διαδικασία γεωμετρικές κατασκευής των εξισώσεων. Η εισαγωγή των συντεταγμένων από τον Descartes έδωσε τη δυνατότητα ορισμού της έννοιας της καμπύλης με γενικό τρόπο, αφού σε κάθε καμπύλη μπορούσε να αντιστοιχηθεί μια εξίσωση (μια σχέση ανάμεσα στην συντεταγμένες των σημείων της) ώστε να την ικανοποιούν αποκλειστικά και μόνο τα σημεία της καμπύλης αυτής.
Ο Fermat την ίδια εποχή ασχολείται με το αντίστροφο της όλης προσπάθειας, δηλαδή μέχρι τότε σε μια καμπύλη ενός γεωμετρικού προβλήματος προσπαθούσαν να βρουν την εξίσωση που αντιστοιχεί σ' αυτή ενώ τώρα προσπαθούσε σε μια εξίσωση να βρει ποια καμπύλη αντιστοιχεί (ποιο είναι το γεωμετρικό ανάλογο της εξίσωσης). Κατ' αυτόν τον τρόπο θα μπορούσε να δοθεί ένας γενικός ορισμός της καμπύλης που να περιλαμβάνει όλες τις γνωστές καμπύλες και επί πλέον να επιτρέπει να κατασκευαστούν τόσες διαφορετικές καμπύλες όσα διαφορετικά είδη εξισώσεων υπάρχουν, δηλαδή όλες οι λεγόμενες αλγεβρικές καμπύλες που έχουν μορφή φ(x,y)=0, όπου φ(x,y) πολυώνυμο με μεταβλητές x,y. Τελικά, καμπύλη ονομάζεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση φ(x,y)=0. Αυτή η διαφορετική οπτική δεν βρήκε την απήχηση που θα ταίριαζε σε μια τόσο σημαντική ανακάλυψη αλλά μόνο αργότερα όταν ο Newton μελέτησε τις καμπύλες ανώτερου βαθμού.
Από τις αρχές του 18ου αιώνα και έπειτα η εξέλιξη ήταν ταχύτατη. Θυμίζουμε την ανακάλυψη των δεκαδικών λογαρίθμων από τον Napier το 1614, την εμφάνιση της λογαριθμικής καμπύλης γύρω στο 1640 από τον Torricelli, τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις από τους Fermat και Roberval μέσω των κυκλοειδών. Σ' αυτό το σημείο αξίζει να αναφέρουμε ότι η κυκλοειδής καμπύλη πρωτοεμφανίστηκε τον 15ο αιώνα και ήταν η μόνη από τις μέχρι τότε καμπύλες που δεν είχαν μελετηθεί από τους αρχαίους γεωμέτρες. Αφορμή της δημιουργίας της υπήρξε η τροχιά ενός σημείου που κινείται και από εκείνη τη στιγμή το φυσικό φαινόμενο της κίνησης άρχισε να λαμβάνεται υπόψη στις μελέτες των καμπύλων. Μετά την ανακάλυψη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, ο Euler επισημαίνει την περιοδικότητα τους. Από τη μελέτη των φυσικών φαινομένων είναι ραγδαία η ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού. Τον 18ο αιώνα ξεκινά η μελέτη των καμπυλών ως γεωμετρικού αντικειμένου με αναζήτηση αναλλοιώτων. Ο Bernoulli προσπαθεί για πρώτη φορά να ορίσει την συνάρτηση μιας μεταβλητής, o Euler συμβάλλει προς αυτό το σκοπό και ο Dirichlet γενικεύει τον ορισμό της συνάρτησης, οπότε πλέον μπορούμε να μιλάμε για μη συνεχείς  συναρτήσεις. Το 1834 ο Bolzano αναφέρεται σε συνεχή καμπύλη που δεν έχει σε κανένα σημείο εφαπτομένη και στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα ο Weierstrass μελετά καμπύλες χωρίς εφαπτόμενες. Εκείνη την εποχή δημιουργούνται και τα πρώτα προβλήματα στον απειροστικό λογισμό από την παραδοχή και συνεχή χρήση του απείρου που προκαλούν πολλές συζητήσεις για την βεβαιότητα και την αυστηρότητα που έχουν τα συμπεράσματα των μαθηματικών. Αρχές 19ου αιώνα δόθηκε ο ορισμός του ορίου από τον Cauchy και ένα κίνημα θεμελίωσης των μαθηματικών έχει ξεκινήσει αφού πλέον είναι ορατά τα προβλήματα στον απειροστικό λογισμό o οποίος μελέτησε το πρόβλημα των συνεχών κινήσεων στηριζόμενος στην έννοια του συνεχούς φορέα της γραμμής και στην έννοια του απείρου. Πλέον, τα μαθηματικά έχουν αλλάξει πάρα πολύ σε σχέση με την εποχή των αρχαίων Ελλήνων και μια νέα θεμελίωση εναγωνίως αναζητείται. Οι Cantor και Dedekind προσπαθούν να διερευνήσουν την αλήθεια των εμπειρικών παραδοχών μας για τα μαθηματικά αντικείμενα. Η έννοια του συνεχούς φορέα της γραμμής δεν είναι καλά ορισμένη, είναι αόριστη και εμπειρική. Έτσι, τα μαθηματικά θεμελιώθηκαν πάνω στη θεωρία των συνόλων στο τέλος του δέκατου ένατου αιώνα κυρίως με τη συνεισφορά του Dedekind, που αποκατέστησε τη σύνδεση του συνεχούς με το διακριτό μέσω των αξιωμάτων της πλήρωσης.


Βιβλιογραφία


[1]   Π. Σπύρου, Επιστημολογία και Διδακτική των Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Αθήνα 1999.
[2]  C. Boyer - U. Merzbach, H ιστορία των Μαθηματικών, εκδόσεις Πνευματικού, Αθήνα 1997.

Επιστροφή στην κορυφή


15] Τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας

1) Ο τετραγωνισμός του κύκλου

Ζητείται να κατασκευαστεί με τον κανόνα και τον διαβήτη τετράγωνο που να έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου.
2) Ο διπλασιασμός του κύβου
Ζητείται να κατασκευαστεί με τον κανόνα και τον διαβήτη το μήκος της πλευράς κύβου με όγκο διπλάσιο ενός άλλου κύβου με γνωστή πλευρά.
3) Η τριχοτόμηση της γωνίας
Ζητείται να κατασκευαστεί με τον κανόνα και τον διαβήτη το 1/3 του μέτρου δοθείσης γωνίας που σχηματίζεται απο δύο ημιευθείες.
4) Η κατασκευή κανονικών πολυγώνων
Ζητείται να κατασκευαστεί με τον κανόνα και τον διαβήτη η πλευρά κανονικού ν-γώνου (ίσες γωνίες και πλευρές), όταν το ν είναι τυχαίος θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 3.
Με τα προβλήματα αυτά ασχολήθηκαν σχεδόν στο σύνολό τους οι γεωμέτρες της αρχαιότητας από τον 5ο π.Χ. αιώνα και έπειτα και απασχόλησαν το σύνολο της τότε κοινωνίας, αφού ανέβηκαν ορισμένα από αυτά (διπλασιασμός κύβου και τετραγωνισμός κύκλου) και ως έργα στη θεατρική σκηνή. Παρόλες τις προσπάθειες παρέμειναν άλυτα κάτω από τις συνθήκες που ζητούνταν οι λύσεις τους. Οι προσπάθειες όμως οδήγησαν στην επινόηση νέων επιφανειών (εκτός της επιφάνειας της σφαίρας, του κυλίνδρου και του κώνου) και καμπύλων (εκτός του κύκλου) ανοίγοντας νέους ορίζοντες στη μαθηματική επιστήμη.
Οι αποτυχίες ανέδυσαν τα ερωτήματα: Μήπως η λύση αυτών των προβλημάτων δεν είναι δυνατόν να γίνει μόνο με τον κανόνα και τον διαβήτη; Κάτω από ποιές προϋποθέσεις μπορούν να υπάρξουν λύσεις μόνο με τον κανόνα και το διαβήτη γι' αυτά τα προβλήματα;
Σήμερα οι απαντήσεις αυτών των ερωτημάτων είναι γνωστές. Η κατασκευή του τετραγωνισμού του κύκλου και του διπλασιασμού του κύβου με κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατη, ενώ οι κατασκευές που ζητούνται από τα άλλα δύο προβλήματα είναι δυνατές μόνο κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις.
Η απόδειξη του αδύνατου της λύσης στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου δόθηκε το 1882.
Η απόδειξη του αδύνατου της λύσης στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου δόθηκε το 1829.

Επιστροφή στην κορυφή

16] Βιωματικά μαθηματικά

Οδηγίες - Πορεία διαπραγμάτευσης  

  • Με το κουμπί κάτω αριστερά μπορείτε να προκαλέσετε κίνηση ή να διακόψετε την κίνηση.
  • Μπορείτε να πειραματιστείτε χειροκίνητα με τους μεταβολείς του ω, του φ και του λ.
  • Παρατηρείστε τις διάφορες μορφές που παίρνει το τραπέζιο ΑΒΓΔ. Δεν είναι πλέον ένα στατικό σχήμα αλλά ένα δυναμικό σχήμα.
  • Κατασκευάστε πίνακα και με βάση τα εργαλεία του προγράμματος υπολογίστε το άθροισμα ΑΔ+ΒΓ καθώς και το τμήμα ΚΛ για διάφορες θέσεις του προβολέα και με την προϋπόθεση ότι σχηματίζεται τραπέζιο. Τι παρατηρείτε;
  • Όταν τα σημεία Α1 και Α2 που παριστάνουν τα δύο αυτοκίνητα συμπέσουν με τα άκρα της διαμέσου του τραπεζίου ΑΒΓΔ εικάστε για το μήκος του αθροίσματος των φωτιζόμενων κρασπέδων.
  • Αποδείξτε την εικασία σας προσπαθώντας να χωρίσετε το τμήμα Α1Α2 σε δύο κατάλληλα μέρη και προσπαθήστε να δικαιολογήσετε το σκεπτικό μιας τέτοιας κίνησης. Πώς μπορεί να υλοποιηθεί μια τέτοια σκέψη και τι επιπτώσεις έχει  αυτό στην πορεία της αποδεικτικής διαδικασίας;
  • Σε ποιά συμπεράσματα καταλήγετε μετά την λύση της άσκησης.
  • Μπορείτε να αποδείξετε και με διαφορετικούς τρόπους την αρχική σας εικασία; Κάθε σας ισχυρισμό προσπαθήστε να τον τεκμηριώσετε.
  • Προσπαθήστε κατασκευαστικά να υλοποιήσετε μια παραπλήσια δραστηριότητα, όπου η θέση των αυτοκινήτων Α1 και Α2 συμπίπτει με τα μέσα των διαγωνίων του φωτιζόμενου από τον προβολέα τραπεζίου. Σε τι συμπεράσματα θα καταλήξετε;
  • Σκεφτείτε άλλες προεκτάσεις της δραστηριότητας προσπαθώντας να την παραμετροποιήσετε ακόμη περισσότερο.

Προκαταρκτικά

Σχολείο:
Τάξη:
Διδάσκων:
Μάθημα:  Γεωμετρία
Διδακτική ενότητα: Τραπέζιο §5.10

Μοντέλο διδασκαλίας:


Οργάνωση τάξης:

Διάρθρωση διδασκαλίας

Χρόνος

Πορεία διδασκαλίας

Μέσα

Διδακτικοί στόχοι

Προϋπάρχουσες γνώσεις

5 λεπτά

Ο διδάσκων ελέγχει αν οι μαθητές γνωρίζουν τα παρακάτω θεωρήματα.
§5.6 Θεώρημα ΙΙ: Αν από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς
§5.6 Θεώρημα Ι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της
Σχεδιάζοντας στον πίνακα δύο τρίγωνα που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις των θεωρημάτων ζητά από τους μαθητές να αναφέρουν τα συμπεράσματα και έπειτα να διατυπώσουν τα θεωρήματα.

Πίνακας

Επανάληψη γνωστών βασικών εννοιών

Κινητοποίηση ενδιαφέροντος

8 λεπτά

Ένας περιστρεφόμενος προβολέας φωτίζει έναν ασφαλτοστρωμένο  ευθύ δρόμο. Θεωρήστε ότι η φωτεινή δέσμη είναι γωνία με κορυφή τον προβολέα, που οι πλευρές της σε κάθε στιγμή τέμνουν το δρόμο σχηματίζοντας τετράπλευρο το οποίο ονομάζω «τραπέζιο». Ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές να καθορίσουν τα χαρακτηριστικά στοιχεία  του τετραπλεύρου, αφού ελέγξουν κατά τη διάρκεια της κίνησης τι είναι αυτό που μένει σταθερό και τι μεταβάλλεται, και έπειτα να δώσουν τον ορισμό του.

Η/Υ και λογισμικό Geogebra

Σύνδεση των μαθηματικών εννοιών με τα βιώματα από τον πραγματικό κόσμο.
(Ρεαλιστικά μαθηματικά)

Διαπραγμάτευση της ενότητας

15 λεπτά

Σαρώνοντας  το φως του προβολέα το δρόμο συναντά δύο αυτοκίνητα που κινούνται στο μέσον του δρόμου και προς την ίδια κατεύθυνση. Σε κάποια στιγμή τα αυτοκίνητα θεωρούμενα ως σημεία βρίσκονται πάνω στις  πλευρές της γωνίας της δέσμης του φωτός του προβολέα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση 100 mΜπορεί να υπολογιστεί το άθροισμα των κρασπέδων του δρόμου που φωτίζονται εκείνη τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή;

Ο διδάσκων καθοδηγεί διακριτικά και οι μαθητές κατά ομάδες διερευνούν, εικάζουν και ανακαλύπτουν.
Ο διδάσκων, χωρίς να αποκαλύπτει, κατευθύνει  με ερωτήσεις τους μαθητές  έτσι ώστε να προκύψει φυσική ανάγκη δημιουργίας πίνακα με στήλες το μήκος κάθε φωτιζόμενου κρασπέδου και το άθροισμά τους, όταν η απόσταση των αυτοκινήτων μεταβάλλεται αλλά το τμήμα που ορίζουν αυτά εξακολουθεί να είναι διάμεσος του τραπεζίου.  Αναμενόμενο είναι να  εικάσουν οι μαθητές τη σχέση που συνδέει την απόσταση των αυτοκινήτων και το άθροισμα των φωτιζόμενων κρασπέδων.

Η απόδειξη αφήνεται στην ευχέρεια κάθε ομάδας και ο διδάσκων πρέπει να παρακινεί τους μαθητές του, αν είναι δυνατόν, να δίνουν και λύσεις διάφορες της προτεινόμενης τους βιβλίου.
Ο διδάσκων πρέπει έντεχνα να τους προτρέπει να προτείνουν  πρωτότυπες ιδέες και με βάση αυτές και στο μέτρο του δυνατού να επιδιώκει λύσεις.

Αναμενόμενο από τους μαθητές είναι να δοθούν κάποιες από τις παρακάτω κινήσεις για λύση της άσκησης:
δημιουργία του αθροίσματος των κρασπέδων ως ενιαίο τμήμα
προέκταση της διαμέσου στο διπλάσιο
χωρισμός της διαμέσου σε δύο τμήματα φέρνοντας τη μια διαγώνιο κ. ά.
Κάθε μια κίνηση από τις παραπάνω έχει ενδιαφέρουσες παραλλαγές που ο διδάσκων μπορεί να συζητήσει με εκείνους από τους μαθητές του που ενδιαφέρονται για το κάτι παραπάνω.
Η τρίτη από τις παραπάνω προτάσεις με χρήση των προαπαιτούμενων γνώσεων οδηγεί στην απόδειξη που είναι και η πρόταση του σχολικού εγχειριδίου.

Η/Υ και λογισμικό Geogebra


Πίνακας


Χαρτί –μολύβι

- διατύπωση ορισμού τραπεζίου
- διατύπωση και απόδειξη του Θεωρήματος Ι.

Επεκτάσεις

10 λεπτά

Από τις ασκήσεις εμπέδωσης του βιβλίου ζητείται να λυθεί η άσκηση 1

Χαρτί –μολύβι

Αξιολόγηση

5 λεπτά

Από τις ασκήσεις εμπέδωσης του βιβλίου ζητείται να λυθεί η άσκηση 1

Χαρτί –μολύβι

Εργασία για το σπίτι

Απόδειξη του πορίσματος  με παρόμοιο σκεπτικό με την απόδειξη του θεωρήματος Ι.
Ασκήσεις:
Αποδεικτικές  9, 10
Σύνθετα θέματα  1






Επιστροφή στην κορυφή
15] Χρυσή τομή
Χρυσή τομή - γεωμετρική αναπαράσταση  Ευκλείδη

Χρυσή τομή - αριθμός Φ (του Φειδία)



Το πρόβλημα της χρυσής τομής:
  • Να χωριστεί ευθύγραμμο τμήμα α σε δύο τμήματα x και y έτσι  ώστε, αν το x είναι μεγαλύτερο από το y, τότε το τετράγωνο που σχηματίζεται με πλευρά  x έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του ορθογώνιου που σχηματίζεται με πλευρές α και y (Η διατύπωση του προβλήματος της χρυσής τομής από τον Ευκλείδη)

ή

  • Να διαιρεθεί  ευθύγραμμο τμήμα α σε μέσο και άκρο λόγο (εύρεση δύο τμημάτων x και y με x μεγαλύτερο του y, ώστε ο λόγος α/x να είναι ίσος με το λόγο x/y).


Χρυσή τομή - αριθμός Φ - υπολογισμός και σχέσεις με το Φ
H ακολουθία του Fibonacci
Ακολουθία Fibonacci -αριθμός Φ

Εμφάνιση του αριθμού Φ (ή όρων της ακολουθίας Fibonacci) στα μαθηματικά και στη φύση:
ι)     Στην πλευρά κανονικού δεκαγώνου
ιι)    Στο τρίγωνο του Pascal
ιιι)   Στα παρακλάδια των φυτών
ιν)   Στα πέταλα των λουλουδιών
ν)    Στα φύλλα πάνω στα κλαδιά των δέντρων
νι)   Στα κουκουνάρια
νιι)  Στο ανθρώπινο σώμα
νιιι) Στα οστρακοειδή (σπείρα Fibonacci)
ιx)   Στα γενεαλογικά δέντρα ορισμένων ζώων κ.ά.

μενού
Επιστροφή στο περιεχόμενο