Μετάβαση στο περιεχόμενο
μετάφραση
μενού
1] Σχήμα Horner

Πρόβλημα


Η εύρεση και κατανόηση των μαθηματικών εννοιών που κρύβονται πίσω από τον αλγόριθμο του σχήματος Horner.


Διδακτική προσέγγιση


Ο διδάσκων με το Geogebra μπορεί να δημιουργήσει ένα απλό applet το οποίο θα περιέχει τη γραφική παράσταση ενός πολυωνύμου 5ου βαθμού με παραμετροποιημένους συντελεστές α, β, γ, δ, ε, ζ και τον αλγόριθμο του σχήματος Horner να εφαρμόζεται δυναμικά συνδεόμενος άμεσα με τις μεταβολές της γραφικής παράστασης του πολυωνύμου. Οι πιθανές ακέραιες λύσεις, που λαμβάνονται από τον μεταβολέα ρ, δοκμάζονται στον αλγόριθμο και οι μαθητές παρατηρούν δυναμικά τη μεταβολή του υπόλοιπου Υ(ρ) της διαίρεσης του πολυωνύμου Π(x) με τον πρωτοβάθμιο παράγοντα x-ρ. Όταν το υπόλοιπο για κάποιο ρ που προκύπτει από τον αλγόριθμο είναι ίσο με 0, τότε από τη γραφική παράσταση διαπιστώνουν ότι το ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου. Από τη συνεχή απομάκρυνση της τιμής του υπολοίπου από την περιοχή του 0 οι μαθητές εικάζουν ότι στην περιοχή της τιμής του ρ που δοκιμάζουν τώρα δεν υπάρχουν ρίζες του Π(x).

Επιστροφή στην κορυφή

2] Μια φωτογραφία, ένα πρόβλημα

Πρόβλημα


Ζητείται από τους μαθητές εργαζόμενοι σε ομάδες να σχεδιάσουν σε περιβάλλον geogebra διάφορες ευθείες που είναι φορείς ευθυγράμμων τμημάτων της φωτογραφίας που τους δίνεται και που απεικονίζει ένα κτήριο. Έπειτα, μετακινώντας τα σημεία του σχήματος που καθορίζουν τις ευθείες σ΄αυτό και τοποθετώντας αυτά πάνω στους φορείς των τμημάτων της φωτογραφίας τους ζητείται να ελέγξουν τις κλήσεις αυτών των φορέων και να τις συγκρίνουν μεταξύ τους. Έπεινα τους ζητείται να ταξινομήσουν τις ευθείες αυτές σε παράλληλες, κάθετες κ.λπ., αφού πρώτα αιτιολογήσουν την επιλογή τους.


Διδακτική προσέγγιση


Ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές του να εργαστούν ομαδοσυνεργατικά και να αναπτύξουν οι ίδιοι πρωτοβουλίες για τη λύση του ανοικτού προβλήματος. Δεν τους περιορίζει στον αριθμό των ευθειών που θα βρούν, ούτε τους ζητά να λύσουν με συγκεκριμένη μέθοδο το πρόβλημα. Επίσης, η αναμενόμενη λύση δεν είναι μοναδική, αφού είναι προφανές ότι η επιλογή διαφορετικών  ευθειών, αν η ταξινόμηση είναι σωστή, μπορεί να θεωρηθεί λύση της άσκησης. Επιπλέον, ο ρόλος του διδάσκοντα στην όλη διαπραγμάτευση του προβλήματος είναι περιορισμένος και διακριτικός. Οι όποιες πρωτοβουλίες αφήνονται στους μαθητές του οι οποίοι συνεργάζονται με τα άτομα της ομάδας τους και ως ομάδα με τις άλλες ομάδες.

Επιστροφή στην κορυφή

3] Κύλινδρος εγγεγραμμένος σε σφαίρα

Οδηγίες χρήσης


H μεταβολή της μεταβλητής στον δρομέα k μεταβάλλει την ακτίνα r=AM του κυλίνδρου και μας δίνει τη γραφική παράσταση του όγκου V του κυλίνδρου συναρτήσει της ακτίνας του.
Όταν το σημείο Ρ ταυτιστεί με το κόκκινο σημείο  (μέγιστο της V) και αλλάξουμε την τιμή της μεταβλητής στον δρομέα της ακτίνας της σφαίρας, τότε θα εμφανιστεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, οι τεταγμένες των οποίων μας δίνουν τους μέγιστους όγκους για τους κυλίνδρους που εγγράφονται σε σφαίρες μεταβλητής ακτίνας.


Πρόβλημα


Να εγγραφεί κύλινδρος μέγιστου όγκου σε σφαίρα ακτίνας R.
Ζητείται να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που αντιστοιχούν στους μέγιστους όγκους, όταν η ακτίνα της σφαίρας μεταβάλλεται.


Ανάλογο πρόβλημα στην επιπεδομετρία


Να εγγραφεί παραλληλόγραμμο μεγίστου εμβαδού σε κύκλο ακτίνας R.
Ζητείται να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που αντιστοιχούν στα μέγιστα εμβαδά, όταν η ακτίνα του κύκλου μεταβάλλεται.

Επιστροφή στην κορυφή

4] Ο μηχανισμός του ρολογιού

Οδηγίες χρήσης


  • Μετακινήστε το δρομέα στην αρχή
  • Πατήστε το κουμπί της εκκίνησης - παύσης κάτω αριστερά
  • Με το πλήκτρο που εμφανίζεται πάνω αριστερά ανανεώστε την κατασκευή
  • Χρονομετρήστε τη διάρκεια περιήγησής σας σε αυτό το δικτυακό χώρο.


Πρόβλημα


Τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω από τη λειτουργία ενός ρολογιού.


Διδακτική προσέγγιση


Προσπαθήστε να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις:
  • Ποιές συναρτήσεις κίνησης των δεικτών κρύβονται πίσω από την κατασκευή του ρολογιού
  • Με βάση την κίνηση του δευτερολεπτοδείκτη και με χρήση του λογισμικού μπορείτε να δημιουργήσετε τη γραφική παράσταση της ημιτονοειδούς συνάρτησης

Επιστροφή στην κορυφή

5] Μετασχηματισμός τριγωνομετρικής συνάρτησης

Πρόβλημα


Ζητείται από τους μαθητές εργαζόμενοι σε ομάδες να τρέξουν την εφαρμογή και να αποδείξουν γραφικά μια σχέση μετασχηματισμού της γραμμικής τριγωνομετρικής συνάρτησης f(x)=αημx+βσυνx.


Σημείωση


Επειδή η αλγεβρική απόδειξη, ανάλογα με το πρόγραμμα σπουδών, μπορεί να είναι εκτός διδακτέας ύλης γι' αυτό εδώ προτείνεται η γραφική απόδειξη που περιέχει πληθώρα διερευνητικών και ανακαλυπτικών στοιχείων, που εκπαιδεύουν τον νου των μαθητών, έτσι ώστε να σκέφτονται με μαθηματικό τρόπο.


Διδακτική προσέγγιση


Ο διδάσκων ζητά από τους μαθητές του να εργαστούν ομαδοσυνεργατικά και να αναπτύξουν οι ίδιοι πρωτοβουλίες για τη λύση του προβλήματος. Ο ρόλος του στην όλη διαδικασία είναι διακριτικός. Δεν τους περιορίζει τον τρόπο σκέψης και τους αφήνει ελεύθερα να διατυπώνουν εικασίες τις οποίες αρχικά θα διερευνούν αν είναι αληθείς στις ομάδες τους και κατόπιν μεταξύ των ομάδων. Αυτός μόνο με γενικές ερωτήσεις, στις δικές τους εικασίες, θέτει τους στόχους που ακολουθούν.
Τα υποπροβλήματα που αντιστοιχούν στις γενικές ερωτήσεις θα μπορούσαν να είναι τα παρακάτω:
α) Ποιός ο ρόλος των α, β στη συνάρτηση f , αν μετακινηθούν οι αντίστοιχοι δρομείς;
β) Πώς μεταβάλλονται τα τμήματα ΒΝ, ΒΡ, ΒΓ και ποιά σχέση θα μπορούσε να υπάρχει, που να τα συνδέει μεταξύ τους;
γ) Από αυτή τη σχέση τμημάτων θα μπορούσε να προκύψει σχέση μεταξύ των συναρτήσεων αημx, βσυνx και ρημ(x+φ)

6] Εγγεγραμμένες γωνίες

Διδακτική προσέγγιση


Το συγκεκριμένο applet μπορεί να βοηθήσει με την επαναλαμβανόμενη εφαρμογή του στο τέλος της διδακτικής διαδικασίας. Η ανακεφαλαίωση των συμπερασμάτων πάνω στις εγγεγραμμένες γωνίες και η σύνδεση με προηγούμενες γνώσεις μπορεί να βοηθηθεί περισσότερο με την οπτικοποίηση που προσφέρει η παραπάνω μικροεφαρμογή παρά με την ηχητική ανακοίνωση του διδάσκοντα. Ο ταυτόχρονος συνδυασμός ήχου και εικόνας θεωρείται ο πλέον ενδεδειγμένος για την τελική εμπέδωση της νέας γνώσης και τη νοητική σύνδεση της γεωμετρικής αναπαράστασης των εννοιών με την αλγεβρική αναπαράσταση.

Επιστροφή στην κορυφή

μενού
Επιστροφή στο περιεχόμενο